PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 19 (2º dia · Grupos 3 e 5) da 2ª etapa da UFG 2004
Os vértices de um triângulo são A(2,-2), B(0,y_0), C(4,y_0), com y_0 > 0. Qual o valor de y_0 para que o triângulo ABC tenha o dobro da área do triângulo AB_1C_1, em que B_1 e C_1 são os pontos de interseção dos lados AB e AC com a reta de equação y = 0, respectivamente? (5,0 pontos)
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Resolução comentada
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a) O lado BC é horizontal, na reta y=y_0, e tem comprimento 4. A altura do vértice A(2,-2) até essa reta é y_0+2. Então:
Como y_0>0, a reta y=0 passa entre A e o lado BC. Ela corta AB em B_1 e AC em C_1. Logo B_1C_1 é paralelo a BC, e os triângulos AB_1C_1 e ABC são semelhantes.
A altura de A até B_1C_1 (a reta y=0) é 2, e a altura de A até BC é y_0+2. A razão de semelhança é \dfrac{2}{y_0+2}.
A razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança. Como S_{ABC}=2\,S_{AB_1C_1}:
Esse valor é positivo (\approx 0{,}83), então atende à condição y_0>0.
Verificação: com y_0+2=2\sqrt2, a base B_1C_1 vale 4\cdot\frac{2}{2\sqrt2}=2\sqrt2 e a altura vale 2. Assim S_{AB_1C_1}=2\sqrt2 e S_{ABC}=2\cdot 2\sqrt2=4\sqrt2, o dobro, como pedido.
y_0=2\sqrt2-2
Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2004 · 2º dia · Grupos 3 e 5. Prova oficial ↗