PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 da UERJ 2021

Exame de Qualificação · Matemática

Para confeccionar uma calha, foi utilizada uma chapa retangular de 0{,}6\text{ m} \times 8\text{ m}. A chapa foi dobrada no formato de um paralelepípedo retângulo de altura x, comprimento igual a 8\text{ m}, e largura y, conforme as imagens a seguir.

Esquema da chapa retangular aberta de 0,6 m por 8 m com marcações x, y e x nas dobras e, ao lado, a chapa dobrada em perspectiva com comprimento de 8 m e altura x Seção transversal da calha em formato de U, com laterais de altura x e base de largura y

Para que esse paralelepípedo tenha volume máximo, a altura x, em centímetros, deve ser igual a:

  1. A
    10
  2. B
    12
  3. C
    15
  4. D
    17
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Resolução comentada

A largura da chapa é 0{,}6\ \text{m} = 60\ \text{cm}. Ela é dividida em três partes: duas laterais de altura x e a base de largura y. Logo:

2x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2x

O volume é comprimento vezes largura vezes altura. O comprimento é fixo (8\ \text{m}), então maximizar o volume é maximizar a área da seção transversal em U:

A(x) = x\cdot y = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x

Essa é uma função quadrática com concavidade para baixo (a = -2 < 0), então tem máximo no vértice:

  1. x_v = -\dfrac{b}{2a}
  2. x_v = -\dfrac{60}{2\cdot(-2)} = 15

Conferindo: com x = 15, y = 30 e A = 450\ \text{cm}^2. Com x = 10, y = 40 e A = 400\ \text{cm}^2, menor. Com x = 17, y = 26 e A = 442\ \text{cm}^2, também menor.

Portanto, a altura que dá o volume máximo é 15\ \text{cm}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom x=10 cm a seção tem 400\ \text{cm}^2, menor que o máximo de 450\ \text{cm}^2.
  • BCom x=12 cm a seção tem 12\cdot 36=432\ \text{cm}^2, abaixo do máximo.
  • DCom x=17 cm a seção tem 17\cdot 26=442\ \text{cm}^2, abaixo do máximo.

Assuntos: função quadrática, máximo de função, volume do paralelepípedo.

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Fonte: UERJ 2021 · Exame Único. Prova oficial ↗