PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 21 da UERJ 2021

Exame de Qualificação · Matemática

Em uma reunião, trabalhadores de uma indústria decidiram fundar um sindicato com uma diretoria escolhida entre todos os presentes e composta por um presidente, um vice-presidente e um secretário. O número total de possibilidades de composição dessa diretoria é trinta vezes o número de pessoas presentes nessa reunião.

O número de trabalhadores presentes é:

  1. A
    13
  2. B
    11
  3. C
    9
  4. D
    7
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Resolução comentada

Como os cargos são distintos (presidente, vice-presidente e secretário), a ordem importa. Isso é um arranjo: escolhemos 3 pessoas entre n e distribuímos nos cargos.

Passo a passo:

  1. Presidente: n possibilidades.
  2. Vice-presidente: sobram n-1 pessoas.
  3. Secretário: sobram n-2 pessoas.

O total de diretorias é n(n-1)(n-2).

O enunciado diz que esse total é 30 vezes o número de pessoas:

n(n-1)(n-2)=30n

Como n\neq 0, dividimos os dois lados por n:

(n-1)(n-2)=30

Desenvolvendo:

n^2-3n+2=30 \Rightarrow n^2-3n-28=0

Pela fórmula de Bhaskara:

\Delta=9+112=121,\quad n=\frac{3\pm 11}{2}

As raízes são n=7 e n=-4. Como o número de pessoas é positivo, n=7.

Conferindo: 7\cdot6\cdot5=210=30\cdot7. Confere.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A13 daria 13\cdot12\cdot11=1716, que não é 30\cdot13=390.
  • B11 daria 11\cdot10\cdot9=990, que não é 30\cdot11=330.
  • C9 daria 9\cdot8\cdot7=504, que não é 30\cdot9=270.

Assuntos: arranjo simples, análise combinatória, equação do 2º grau.

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Fonte: UERJ 2021 · Exame Único. Prova oficial ↗