PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 (2º exame) da UERJ 2015

2º exame · Matemática · Matemática: Cone e tronco de cone

Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 1\text{ cm}^3/\text{s}. A altura do cone mede 24\text{ cm}, e o raio de sua base mede 3\text{ cm}.

Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água no recipiente varia em função do tempo t em que a torneira fica aberta. A medida de h corresponde à distância entre o vértice do cone e a superfície livre do líquido.

Esquema de um recipiente cônico circular reto com vértice voltado para baixo, apoiado sobre uma superfície plana horizontal e próximo a uma parede à esquerda. Uma torneira aberta na parede despeja um filete de água dentro do cone, preenchendo-o parcialmente com líquido até uma altura h, indicada por uma seta vertical bidirecional entre o vértice inferior e a superfície livre da água.

Admitindo \pi = 3, a equação que relaciona a altura h, em centímetros, e o tempo t, em segundos, é representada por:

  1. A
    \mathbf{h} = 4\sqrt[3]{\mathbf{t}}
  2. B
    \mathbf{h} = 2\sqrt[3]{\mathbf{t}}
  3. C
    \mathbf{h} = 2\sqrt{\mathbf{t}}
  4. D
    \mathbf{h} = 4\sqrt{\mathbf{t}}
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Resolução comentada

A água forma, dentro do recipiente, um cone menor semelhante ao cone todo. Por isso, a razão entre o raio r da superfície da água e a altura h é a mesma do cone grande.

  1. Semelhança: \frac{r}{h}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}, logo r=\frac{h}{8}.

  2. Volume de água, com \pi=3: V=\frac{1}{3}\pi r^2 h=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot\left(\frac{h}{8}\right)^2\cdot h=\frac{h^3}{64}.

  3. A vazão é de 1\ \text{cm}^3/\text{s}, então o volume após t segundos é V=t.

  4. Igualando: \frac{h^3}{64}=t, ou seja, h^3=64t.

  5. Extraindo a raiz cúbica: h=\sqrt[3]{64t}=4\sqrt[3]{t}.

Conferindo: com o cone cheio, h=24 e V=\frac{24^3}{64}=216\ \text{cm}^3. Já a fórmula direta dá \frac{1}{3}\cdot3\cdot 9\cdot 24=216. Os valores coincidem, então a relação está certa.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BErra a raiz cúbica de 64, usando 2 em vez de 4 (que seria \sqrt[3]{8t}).
  • CUsa raiz quadrada, mas o volume depende de h^3, não de h^2.
  • DUsa raiz quadrada, mas o volume depende de h^3, não de h^2.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Semelhança e Teorema de Tales.

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Ver como caiu na prova Questão 28 no caderno 2º Exame de Qualificação da UERJ 2015

Fonte: UERJ 2015 · 2º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗