PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 24 (1º exame) da UERJ 2015

1º exame · Matemática · Matemática: Cone e tronco de cone

Um funil, com a forma de cone circular reto, é utilizado na passagem de óleo para um recipiente com a forma de cilindro circular reto. O funil e o recipiente possuem a mesma capacidade.

De acordo com o esquema, os eixos dos recipientes estão contidos no segmento TQ, perpendicular ao plano horizontal \beta.

Esquema de um funil cônico invertido sobre um recipiente cilíndrico, com eixo vertical tracejado TQ, perpendicular ao plano horizontal β. T é o centro da abertura superior do funil, P é seu vértice e o centro da base superior do cilindro, e Q é o centro da base inferior do cilindro. A e B são as extremidades superior e inferior de uma geratriz do cilindro. A altura do funil é H, e o nível de óleo representado no funil está à altura H/2 acima de P.

Admita que o funil esteja completamente cheio do óleo a ser escoado para o recipiente cilíndrico vazio. Durante o escoamento, quando o nível do óleo estiver exatamente na metade da altura do funil, \dfrac{H}{2}, o nível do óleo no recipiente cilíndrico corresponderá ao ponto K na geratriz AB.

A posição de K, nessa geratriz, é melhor representada por:

  1. A
    Segmento vertical AB, com A na extremidade superior e B na inferior. K é indicado por um traço horizontal próximo de A, cerca de um oitavo do comprimento do segmento abaixo de A.
  2. B
    Segmento vertical AB, com A na extremidade superior e B na inferior. K é indicado por um traço horizontal na parte superior do segmento, cerca de três décimos do comprimento abaixo de A.
  3. C
    Segmento vertical AB, com A na extremidade superior e B na inferior. K é indicado por um traço horizontal aproximadamente no meio do segmento.
  4. D
    Segmento vertical AB, com A na extremidade superior e B na inferior. K é indicado por um traço horizontal na parte inferior do segmento, cerca de três quartos do comprimento abaixo de A.
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Resolução comentada

O cone cheio tem volume V_c, igual ao volume do cilindro. Quando o óleo no funil está na altura \frac{H}{2}, o óleo restante forma um cone semelhante ao cone total, com razão de semelhança \frac{1}{2}.

Como os volumes de sólidos semelhantes ficam na razão do cubo da razão de semelhança:

  1. Volume restante no funil: V_c\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{V_c}{8}.
  2. Volume que já escoou para o cilindro: V_c-\frac{V_c}{8}=\frac{7V_c}{8}.

Como V_c é igual ao volume do cilindro, o óleo no cilindro ocupa \frac{7}{8} da capacidade dele.

O cilindro tem seção constante, então o volume é proporcional à altura do óleo. O óleo chega a \frac{7}{8} da altura AB, medida a partir de B (base inferior).

Logo, K fica a \frac{1}{8} do comprimento de AB abaixo de A, ou seja, bem próximo de A. Isso corresponde à figura em que o traço está cerca de um oitavo abaixo de A.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem acha que metade da altura do funil escoa metade do óleo, esquecendo que o volume varia com o cubo da razão de semelhança.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BPosição de cerca de 3/10 abaixo de A não corresponde a 7/8 da altura; não resulta de nenhum cálculo correto.
  • CMetade da altura seria o resultado se o volume fosse proporcional à altura do cone, esquecendo o cubo da semelhança.
  • DColocaria o óleo a apenas 1/4 da altura do cilindro, invertendo a leitura entre óleo restante e óleo escoado.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Semelhança e Teorema de Tales, Cilindro.

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Ver como caiu na prova Questão 24 no caderno 1º Exame de Qualificação da UERJ 2015

Fonte: UERJ 2015 · 1º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗