PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 38 (1º exame) da UERJ 2013

1º exame · Ciências da Natureza e Matemática · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo.

1 – Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente:

Retângulo ABCD com largura de 10 cm e comprimento de 15 cm, dividido ao meio verticalmente pelo segmento tracejado MN

2 – Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de modo que B coincida com o ponto P do segmento MN:

Papel com dobra feita ao longo de AB', fazendo o vértice B coincidir com o ponto P sobre o segmento tracejado MN

3 – Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP.

Bandeirinha com recorte triangular ABP

A área construída da bandeirinha APBCD, em \text{cm}^2, é igual a:

  1. A
    25 (4 - \sqrt{3})
  2. B
    25 (6 - \sqrt{3})
  3. C
    50 (2 - \sqrt{3})
  4. D
    50 (3 - \sqrt{3})
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O retângulo ABCD tem AB = 10 cm (largura) e AD = 15 cm. O segmento MN passa pelo meio de AB, então N é o ponto médio de AB e AN = 5 cm.

Ao dobrar, B vai até P, e a dobra AB' é eixo de simetria. Logo AP = AB = 10 cm, pois a dobra preserva as distâncias.

No triângulo retângulo ANP (MN é perpendicular a AB), temos:

  1. Hipotenusa AP = 10 e cateto AN = 5.
  2. NP = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} cm.

Como AP = BP = AB = 10, o triângulo ABP é equilátero, e sua altura é NP = 5\sqrt{3}.

Área do triângulo recortado:

A_{ABP} = \frac{10 \cdot 5\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}\ \text{cm}^2

Área do retângulo:

A_{ABCD} = 10 \cdot 15 = 150\ \text{cm}^2

Área da bandeirinha APBCD (retângulo menos o triângulo):

150 - 25\sqrt{3} = 25(6 - \sqrt{3})\ \text{cm}^2

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ALeva a 100 - 25\sqrt{3}, como se a área do retângulo fosse 100 em vez de 150.
  • CResulta em 100 - 50\sqrt{3}, errando tanto a área do retângulo quanto a do triângulo.
  • DResulta em 150 - 50\sqrt{3}, que usa o dobro da área do triângulo (esquece de dividir por 2).

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Ver como caiu na prova Questão 38 no caderno 1º Exame de Qualificação da UERJ 2013

Fonte: UERJ 2013 · 1º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗