PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 35 (1º exame) da UERJ 2013

1º exame · Ciências da Natureza e Matemática · Matemática: Função exponencial

Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T_0,correspondente a dez vezes o nível inicial.

Leia as informações a seguir.

  • A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias.
  • O nível de toxidez T(x) , após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação:
T(x) = T_0 \cdot (0{,}5)^{0{,}1x}

Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial.

Sendo \log 2 = 0{,}3, o valor de D é igual a:

  1. A
    30
  2. B
    32
  3. C
    34
  4. D
    36
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Resolução comentada

O nível inicial de toxidez é T_0/10, pois T_0 corresponde a dez vezes o nível inicial. Queremos o menor x tal que T(x)=\frac{T_0}{10}.

  1. Igualamos: T_0\cdot(0{,}5)^{0{,}1x}=\dfrac{T_0}{10}.

  2. Cancelamos T_0: (0{,}5)^{0{,}1x}=10^{-1}.

  3. Aplicamos \log nos dois lados: 0{,}1x\cdot\log(0{,}5)=-1.

  4. Como 0{,}5=2^{-1}, temos \log(0{,}5)=-\log 2=-0{,}3.

  5. Substituindo: 0{,}1x\cdot(-0{,}3)=-1, ou seja, 0{,}03x=1.

  6. Logo x=\dfrac{1}{0{,}03}\approx 33{,}3 dias.

Como D é um número inteiro de dias e a toxidez só chega ao nível inicial em cerca de 33{,}3 dias, o menor número inteiro de dias que garante isso é 34.

Verificação: em x=33, a toxidez ainda está acima do nível inicial; em x=34, já está abaixo dele.

Alternativa C.

Pegadinha: A conta dá cerca de 33,3 dias, e o enunciado pede o menor número de dias (inteiro) que garanta o retorno ao nível inicial; arredondar para 33 engana, pois nele a toxidez ainda está acima.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa \log 2=0{,}3 de modo incorreto ou toma x=30, que dá (0{,}5)^3=1/8, toxidez ainda acima do nível inicial (1/10 de T_0).
  • BValor sem relação com a conta; em 32 dias a toxidez ainda não caiu a T_0/10.
  • DPassa do necessário; 36 dias garante a queda, mas não é o menor número de dias.

Assuntos: Função exponencial, Logaritmos e função logarítmica.

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Ver como caiu na prova Questão 35 no caderno 1º Exame de Qualificação da UERJ 2013

Fonte: UERJ 2013 · 1º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗