PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 30 (1º exame) da UERJ 2013

1º exame · Ciências da Natureza e Matemática · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.

Cartas de um baralho organizadas em quatro linhas, uma para cada naipe (ouros, espadas, copas e paus), e treze colunas, correspondentes aos valores A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 e 2.

Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra:

Cinco cartas de baralho em leque exibindo uma quadra de número 8 (ouros, copas, paus e espadas) e um Rei de espadas.

O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a:

  1. A
    624
  2. B
    676
  3. C
    715
  4. D
    720
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Resolução comentada

Um conjunto de 5 cartas com quadra tem as 4 cartas de um mesmo valor mais uma quinta carta qualquer. Contamos em duas etapas.

  1. Escolha do valor da quadra: há 13 valores (A, K, Q, ..., 2), então são 13 possibilidades. Uma vez escolhido o valor, as 4 cartas ficam determinadas, uma de cada naipe.

  2. Escolha da quinta carta: sobram 52 - 4 = 48 cartas. Qualquer uma serve, pois ela não pode formar outra quadra (só resta 1 carta de cada um dos outros valores além dessa, e sobram apenas 4 cartas para completar uma quadra, o que exigiria 8 cartas). Logo, são 48 possibilidades.

Pelo princípio multiplicativo:

13 \cdot 48 = 624

Não há contagem repetida: um conjunto de 5 cartas não pode ter duas quadras diferentes, pois isso exigiria 8 cartas. Cada conjunto é contado uma única vez.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BCalcula 26^2 = 676, sem relação com a contagem de quadra mais uma carta.
  • CCorresponde a $\binom{13}{2}\cdot ... $ ou a outro arranjo sem sentido; 715 é \binom{13}{4}, não conta a quinta carta.
  • DUsa 13 \cdot 4 \cdot 12 + ... ou outro valor errado; 720 não resulta de 13 \cdot 48.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Princípio fundamental da contagem.

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Ver como caiu na prova Questão 30 no caderno 1º Exame de Qualificação da UERJ 2013

Fonte: UERJ 2013 · 1º Exame de Qualificação. Prova oficial ↗