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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Nível 1) da OBMEP 2025

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Uma folha retangular de papel, de perímetro igual a 50\ \text{cm}, foi dobrada ao meio de duas maneiras diferentes, como mostra a figura. Em uma delas, o perímetro da folha dobrada é 35\ \text{cm}. Qual é o perímetro da folha dobrada da outra maneira?

Ilustração mostrando uma folha retangular de papel à esquerda, da qual partem duas setas indicando duas maneiras diferentes de dobrá-la ao meio: na parte superior, a folha é dobrada verticalmente ao longo de uma linha tracejada central, resultando em um retângulo mais estreito e alto; na parte inferior, a folha é dobrada horizontalmente ao longo de uma linha tracejada central, resultando em um retângulo mais largo e baixo.

  1. A
    20\ \text{cm}
  2. B
    40\ \text{cm}
  3. C
    30\ \text{cm}
  4. D
    25\ \text{cm}
  5. E
    45\ \text{cm}
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Chame de a o comprimento (lado maior) e de b a largura da folha. O perímetro é 2a+2b=50, logo a+b=25\ \text{cm}.

Ao dobrar ao meio, um dos lados cai pela metade e o outro continua igual.

Dobra vertical (a linha tracejada divide o comprimento): o retângulo fica com lados \frac{a}{2} e b. Seu perímetro é

2\left(\frac{a}{2}+b\right)=a+2b.

Dobra horizontal (divide a largura): o retângulo fica com lados a e \frac{b}{2}. Seu perímetro é

2\left(a+\frac{b}{2}\right)=2a+b.

Somando os dois perímetros:

(a+2b)+(2a+b)=3a+3b=3(a+b)=3\cdot 25=75\ \text{cm}.

Uma das dobras tem perímetro 35\ \text{cm}, então a outra tem

75-35=40\ \text{cm}.

Conferindo: a+2b=35 e a+b=25 dão b=10 e a=15. Então 2a+b=30+10=40, o que confirma o resultado. Se fosse 2a+b=35, teríamos a=10 e b=15, e a outra dobra daria a+2b=40 do mesmo jeito.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem confunde o semiperímetro a+b=25 com o perímetro pedido.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACorresponde a tomar a metade do perímetro original menos 5, sem relação com as dobras; o valor não satisfaz 3(a+b)-35.
  • CÉ o perímetro 2a+b de uma folha com lados trocados, ou metade de 60; não vem da soma 75-35.
  • DÉ o valor de a+b, o semiperímetro da folha original, e não o perímetro da folha dobrada.
  • EResulta de somar 50-5, supondo que a dobra reduz só uma quantidade fixa; ignora que apenas um lado é dividido.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Equações do 1º grau e problemas.

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Fonte: OBMEP 2025 · Nível 1. Prova oficial ↗