Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2025

Question

Marcela escreveu os números de 1 a 8, um em cada círculo da figura, de modo que em círculos conectados por um segmento não apareçam números consecutivos. Quais números ela escreveu nos dois círculos destacados em cinza?

Grafo com 8 círculos, sendo dois cinza nas extremidades esquerda e direita e seis brancos dispostos em duas colunas de três, conectados por diversos segmentos de reta.

A
2 e 7
B
1 e 8
C
2 e 6
D
3 e 6
E
4 e 5

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2025

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Marcela escreveu os números de 1 a 8, um em cada círculo da figura, de modo que em círculos conectados por um segmento não apareçam números consecutivos. Quais números ela escreveu nos dois círculos destacados em cinza?

Grafo com 8 círculos, sendo dois cinza nas extremidades esquerda e direita e seis brancos dispostos em duas colunas de três, conectados por diversos segmentos de reta.

A
2 e 7
B
1 e 8
C
2 e 6
D
3 e 6
E
4 e 5

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Na figura ao lado, cada um dos círculos centrais se conecta a outros 6 círculos, como destacado em verde e em vermelho. Isso significa que há apenas um outro círculo da figura ao qual cada círculo central não se conecta. Os números 2, 3, 4, 5, 6, e 7 podem ser conectados a dois outros. Logo, nos círculos centrais devem ser colocados o 1 e o 8.

[Figura: Diagrama com oito círculos interconectados, sendo dois círculos cinzas nas extremidades esquerda e direita e seis círculos brancos: dois no centro, dois no topo e dois na base.]

Caso o 1 seja colocado no círculo central mais à esquerda, o 2 deve ser colocado longe dele, no círculo cinza da direita. Simetricamente, caso o 1 seja colocado no círculo central mais à direita, o 2 deve ser colocado no círculo cinza da esquerda.

Caso o 8 seja colocado no círculo central mais à esquerda, o 7 deve ser colocado longe dele, no círculo cinza da direita. Simetricamente, caso o 8 seja colocado no círculo central mais à direita, o 7 deve ser colocado no círculo cinza da esquerda.

Portanto, Marcela deve colocar os números 2 e 7 nos círculos cinza.

Alguns preenchimentos possíveis:

[Figura: Dois esquemas com exemplos de preenchimento dos oito círculos. No primeiro esquema: círculo cinza esquerdo com 2, círculo central esquerdo com 8, central direito com 1, cinza direito com 7; círculos superiores com 5 e 3; círculos inferiores com 6 e 4. No segundo esquema: círculo cinza esquerdo com 7, círculo central esquerdo com 1, central direito com 8, cinza direito com 2; círculos superiores com 4 e 6; círculos inferiores com 3 e 5.]

Outra solução: Um número que apareça em um dos círculos centrais não pode ter antecessor e sucessor pois, nesse caso, sobrariam apenas cinco números para preencher os seis círculos a ele conectados; dessa maneira, os números que aparecem nos círculos centrais são 1 e 8. Se o 1 aparece no círculo central à direita, o 2 só pode aparecer no círculo na extremidade esquerda; nesse caso, o 8 está no círculo central à esquerda e, pelo mesmo argumento, o 7 deve aparecer no círculo da extremidade direita. O mesmo raciocínio se aplica se o 1 aparece no círculo central à esquerda.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Dois números consecutivos não podem estar em círculos ligados. Então cada par (1,2),(2,3),\dots,(7,8) tem de ocupar círculos sem segmento entre eles. Assim, a sequência 1,2,\dots,8 forma um caminho passando só por pares não ligados.\n\nObserve os dois círculos brancos do meio, um em cada coluna. Cada um está ligado a todos os outros círculos, exceto a um cinza:\n\n1. O círculo do meio à esquerda não se liga apenas ao cinza da direita.\n2. O círculo do meio à direita não se liga apenas ao cinza da esquerda.\n\nPortanto, cada um desses dois círculos do meio só pode ter como vizinho (na sequência) o cinza correspondente. Um número que só pode ter um consecutivo precisa ser uma ponta da sequência, ou seja, 1 ou 8.\n\nLogo, os círculos do meio recebem 1 e 8. Os consecutivos deles, 2 e 7, ficam nos círculos cinza: o 2 vai no cinza oposto ao círculo que tem 1, e o 7 no cinza oposto ao que tem 8.\n\nOs números nos círculos cinza são, portanto, 2 e 7.\n\nAlternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

B1 e 8 só podem ficar nos círculos do meio, que têm apenas um não vizinho; os cinza ficam com 2 e 7.
C2 e 6 deixariam o 7 sem lugar possível, pois o 8 teria de ficar ao lado de um círculo ligado a ele.
D3 e 6 não respeitam a restrição das pontas 1 e 8 nos círculos do meio, que exige 2 e 7 nos cinza.
E4 e 5 são consecutivos e os cinza não estão ligados, mas isso não permite posicionar 1 e 8 nos círculos do meio.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 7 no caderno Nível 1 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 1. Prova oficial ↗