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Questão 5 (Nível 1) da OBMEP 2025

Nível 1 · Matemática: Sequências e padrões

Joãozinho desenhou uma cruz formada por 12 segmentos de 1\ \text{cm} cada, como na Figura 1. Depois ele desenhou novas figuras sempre encaixando a Figura 1 na anterior, como indicado abaixo.

Sequência de três figuras seguidas de reticências. A Figura 1 mostra uma cruz simétrica de contorno grosso, formada por 12 segmentos de mesmo comprimento. A Figura 2 mostra duas dessas cruzes encaixadas diagonalmente (a segunda cruz abaixo e à direita da primeira), com o contorno externo em linha grossa e a junção interna de 3 segmentos indicada em linha tracejada. A Figura 3 mostra três cruzes encaixadas seguindo o mesmo padrão diagonal, com o contorno externo em linha grossa e as junções internas em linha tracejada.

Qual das alternativas abaixo pode ser o comprimento do contorno, destacado em linha mais grossa, de alguma figura desenhada por Joãozinho?

  1. A
    2024\ \text{cm}
  2. B
    2026\ \text{cm}
  3. C
    2028\ \text{cm}
  4. D
    2030\ \text{cm}
  5. E
    2032\ \text{cm}
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Resolução comentada

Resolução comentada

A cruz tem contorno de 12 segmentos, ou seja, 12\ \text{cm}. A Figura 2 junta duas cruzes, e a junção interna (tracejada) tem 3 segmentos. Esses 3 segmentos deixam de fazer parte do contorno em cada uma das duas cruzes.

Cada nova cruz encaixada acrescenta 12 segmentos ao contorno e retira 3 de cada cruz envolvida na junção, isto é, 2\times 3 = 6 segmentos. O acréscimo líquido por cruz nova é então 12-6=6 cm.

Confira com a Figura 2: 12+6=18 cm. Na Figura 3, 18+6=24 cm. O padrão se confirma.

Para a figura com n cruzes:

P = 12 + 6(n-1) = 6n + 6

O contorno é sempre múltiplo de 6. Basta ver qual alternativa é múltiplo de 6, ou seja, par e com soma dos algarismos múltipla de 3:

  • 2024: soma 8, não é.
  • 2026: soma 10, não é.
  • 2028: soma 12 e é par, então é múltiplo de 6.
  • 2030: soma 5, não é.
  • 2032: soma 7, não é.

Para 2028: 6n+6=2028 \Rightarrow n=337. É um número inteiro de cruzes, então a figura existe.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A2024 não é múltiplo de 6 (soma dos algarismos 8), então não dá 6n+6 com n inteiro.
  • B2026 não é múltiplo de 6, logo não corresponde a nenhuma figura.
  • D2030 não é divisível por 3, portanto não é múltiplo de 6.
  • E2032 deixa resto 4 na divisão por 6, não serve.

Assunto: Sequências e padrões.

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Fonte: OBMEP 2025 · Nível 1. Prova oficial ↗