Questão 1 (Nível 1) da OBMEP 2025

Resolução comentada

Se Pedro usa x notas de 2 reais e y notas de 5 reais, precisamos de 2x + 5y = 20, com x e y inteiros não negativos.

O total 20 é par e 2x é sempre par. Então 5y também precisa ser par, e isso só acontece se y for par.

Além disso, 5y \le 20, logo y \le 4. Os valores pares possíveis são y = 0, 2, 4. Testando cada um:

1. y = 0: 2x = 20, então x = 10 (10 notas de 2 reais).
2. y = 2: 2x = 20 - 10 = 10, então x = 5 (5 notas de 2 e 2 notas de 5).
3. y = 4: 2x = 20 - 20 = 0, então x = 0 (4 notas de 5 reais).

Os valores ímpares de y (1 e 3) deixariam 15 e 5 para completar com notas de 2, o que é impossível, pois esses números são ímpares.

São 3 maneiras diferentes.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Bconta só uma das maneiras, como apenas 4 notas de 5 reais.
• Cesquece uma das combinações, geralmente a de 5 notas de 2 e 2 de 5, ou a de 10 notas de 2.
• Dconta valores de y de 0 a 4 sem verificar que y ímpar não fecha o total.
• Econta 4 valores possíveis de y além de 0, sem testar se x é inteiro.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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