Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2024

Question

Felipe vai colorir a figura de modo que regiões vizinhas tenham cores diferentes. Qual é o menor número de cores que ele deve usar?

Três círculos concêntricos: o central não dividido; a coroa circular intermediária dividida em 4 setores por segmentos verticais e horizontais; e a coroa circular externa dividida em 4 setores por segmentos diagonais.

A
4
B
2
C
3
D
6
E
5

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2024

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Felipe vai colorir a figura de modo que regiões vizinhas tenham cores diferentes. Qual é o menor número de cores que ele deve usar?

Três círculos concêntricos: o central não dividido; a coroa circular intermediária dividida em 4 setores por segmentos verticais e horizontais; e a coroa circular externa dividida em 4 setores por segmentos diagonais.

A
4
B
2
C
3
D
6
E
5

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Podemos decompor a figura em três partes: uma parte central formada por uma única região, uma parte intermediária formada por quatro regiões, e uma parte externa também formada por quatro regiões.

[Figura: três diagramas circulares mostrando a decomposição da figura: no primeiro, apenas a região central circular está sombreada; no segundo, apenas o anel intermediário com quatro regiões está sombreado; no terceiro, apenas o anel externo com quatro regiões está sombreado.]

Para pintar a parte interna precisamos de uma cor. Depois, para pintar a parte intermediária precisamos de pelo menos mais duas cores diferentes da cor usada na parte interna, pintando as regiões opostas e não vizinhas nessa parte intermediária com a mesma cor. Por último, para pintar a parte externa precisamos também de pelo menos duas cores diferentes das cores usadas na parte intermediária, também pintando as regiões opostas e não vizinhas nessa parte externa com a mesma cor. Porém, uma dessas duas cores da parte externa pode ser igual à cor usada na parte central. Logo Felipe vai precisar de pelo menos 1 + 2 + 1 = 4 cores diferentes para pintar a figura; assim, é possível pintar a figura de modo que regiões vizinhas tenham cores diferentes somente com 4 cores, como descrito.

Outra solução:

Vamos supor que seja possível colorir utilizando apenas três cores, que vamos chamar de A, B e C. Existem regiões da figura que possuem 5 vizinhos. Suponha que uma dessas regiões tenha a cor A, como indicado abaixo. Como regiões vizinhas devem ter cores distintas, então ao colorir as outras regiões temos a seguinte configuração:

[Figura: sequência de três diagramas circulares conectados por setas indicando a dedução das cores: no primeiro diagrama, uma região do anel intermediário contém a letra A; no segundo, regiões adjacentes do anel externo recebem B e C; no terceiro diagrama, o preenchimento se completa com B na região oposta do anel externo e C na região adjacente do anel intermediário.]

Nesse caso, a região central necessariamente deve ter uma cor distinta de A, B e C. Por esse motivo, é impossível colorir com apenas 3 cores. Com 4 cores é possível e a configuração ao lado mostra uma maneira.

[Figura: diagrama circular com uma coloração completa utilizando quatro tons de cinza diferentes, de modo que regiões adjacentes não compartilhem a mesma cor.]

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Publicada pela banca.

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

Regiões vizinhas são as que compartilham um trecho de fronteira (só tocar em um ponto não conta).

A figura tem 9 regiões: o círculo central (C), 4 setores na coroa intermediária (M1, M2, M3, M4) e 4 setores na coroa externa (E1, E2, E3, E4).

O círculo central encosta nos 4 setores intermediários, então C precisa de uma cor própria, por exemplo cor 1.
Os setores M1 a M4 formam um anel: cada um é vizinho dos dois ao lado. Como são 4 em ciclo, basta alternar duas cores: M1 e M3 com cor 2, M2 e M4 com cor 3. Eles não podem usar a cor 1, pois tocam C.
Os setores externos tocam apenas os setores intermediários e os vizinhos da própria coroa. Como a coroa externa também está dividida em 4 setores por segmentos diagonais, cada setor externo encosta em dois setores intermediários vizinhos (um de cor 2 e outro de cor 3). Assim, os setores externos não podem ter cor 2 nem 3, mas podem usar a cor 1, pois não tocam C.
Os setores externos são vizinhos entre si em ciclo, então não podem ser todos da cor 1. Alternamos: E1 e E3 com cor 1, E2 e E4 precisam de outra cor. Nenhuma das cores 1, 2 ou 3 serve a E2 e E4 se cada um tocar um setor de cor 2 e um de cor 3 e vizinhos de cor 1. Logo, é necessária uma 4ª cor.

Portanto, com 3 cores não é possível, e com 4 é possível: C = 1; M = 2, 3, 2, 3; E = 1, 4, 1, 4.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

B2 cores não bastam: o círculo central toca os 4 setores, que por sua vez se tocam em ciclo e precisam de 2 cores além da central.
C3 cores colorem o centro e a coroa intermediária, mas a coroa externa exige mais uma cor.
D6 cores é mais do que o necessário; 4 já resolvem.
E5 cores também é excesso; existe coloração com 4.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 7 no caderno Nível 1 da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2024 · Nível 1. Prova oficial ↗

Numeração da versão 1. Nas outras versões: versão 2, questão 8versão 3, questão 9versão 4, questão 5versão 5, questão 6