Questão 5 (Nível 3) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

Primeiro, conte quantas estradas partem de cada cidade no desenho. Chame as cidades de A (superior esquerda), B (superior direita), C (esquerda), D (direita), E (inferior esquerda), F (inferior direita) e G (inferior central).

As estradas existentes são: A–C (verde), C–B (preta), C–E (vermelha), A–D (laranja) e G–F (azul).

Graus: A=2, B=1, C=3, D=1, E=1, F=1, G=1.

Seja k o número final de estradas em cada cidade.

1. Como C já tem 3, temos k\geq 3.
2. A soma dos graus é o dobro do número de estradas, então 7k precisa ser par. Logo k é par, e o menor valor possível é k=4.
3. Com k=4, faltam: A:2, B:3, C:1, D:3, E:3, F:3, G:3, somando 18 pontas.
4. Cada estrada nova usa 2 pontas, então são 18\div 2=9 estradas novas.

É possível construir essas 9 estradas sem repetir nenhuma existente: B–D, B–E, B–F, D–E, D–G, E–G, G–A, F–A, F–C. Conferindo, cada cidade chega a 4 estradas.

O mínimo é 9 estradas.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BNúmero de estradas já existentes; não deixa todas as cidades com o mesmo grau.
• CUsa o grau final 4 como se fosse o número de estradas a acrescentar.
• DCorresponderia a um número maior que o mínimo, sem que seja necessário.
• ECorresponderia a um número maior que o mínimo, sem que seja necessário.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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