Questão 5 (Nível 1) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, D; versão 3, E; versão 4, A; versão 5, B.

Resolução comentada

As cabines são igualmente espaçadas, então o ângulo entre duas cabines vizinhas é sempre o mesmo. Se descobrirmos esse ângulo, dividimos a volta completa (360^\circ) por ele.

Na figura, vemos um quarto da roda (um ângulo reto, 90^\circ), limitado por um raio vertical e outro horizontal. Há uma cabine em cada um desses raios (cortadas pelas bordas da janela) e mais 5 cabines inteiras entre elas.

1. Contando as cabines desse quadrante: 1 + 5 + 1 = 7 cabines, incluindo as dos dois raios.
2. Entre 7 cabines em sequência há 6 intervalos iguais.
3. Esses 6 intervalos preenchem o ângulo reto: \dfrac{90^\circ}{6} = 15^\circ entre cabines vizinhas.
4. Na roda toda: \dfrac{360^\circ}{15^\circ} = 24 cabines.

Outra forma de ver: cada quadrante tem 6 intervalos, e a roda tem 4 quadrantes, logo 4 \times 6 = 24 intervalos, que é igual ao número de cabines, pois a roda é fechada (o último intervalo volta à primeira cabine).

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa A engana quem multiplica 7 cabines por 4 quadrantes, contando duas vezes as cabines dos raios; a E engana quem usa só as 5 cabines inteiras para achar os intervalos.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AParece vir de contar 7 cabines por quadrante (4\times7=28), repetindo as cabines dos raios, que são compartilhadas entre quadrantes.
• BNão corresponde a nenhuma divisão correta; ignora que o quadrante tem 6 intervalos de 15^\circ.
• DValor sem relação com 360^\circ/15^\circ; provavelmente de somar cabines de forma errada.
• EResulta de usar 5 intervalos (90^\circ/5=18^\circ, 360/18=20), contando só as 5 cabines inteiras.

Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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