Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2024

Question

A figura foi formada por quatro quadrados iguais de lado 3 cm, e seu perímetro está destacado em vermelho. Qual é o valor desse perímetro?

Figura formada por quatro quadrados de mesmo tamanho: um quadrado na parte superior esquerda, dois quadrados lado a lado na faixa central e um quadrado na parte inferior direita. O contorno externo de toda a composição está destacado por uma linha vermelha espessa, enquanto as divisões internas entre os quadrados são indicadas por linhas pretas finas.

A
30\text{ cm}
B
33\text{ cm}
C
27\text{ cm}
D
24\text{ cm}
E
21\text{ cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2024

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura foi formada por quatro quadrados iguais de lado 3 cm, e seu perímetro está destacado em vermelho. Qual é o valor desse perímetro?

Figura formada por quatro quadrados de mesmo tamanho: um quadrado na parte superior esquerda, dois quadrados lado a lado na faixa central e um quadrado na parte inferior direita. O contorno externo de toda a composição está destacado por uma linha vermelha espessa, enquanto as divisões internas entre os quadrados são indicadas por linhas pretas finas.

A
30\text{ cm}
B
33\text{ cm}
C
27\text{ cm}
D
24\text{ cm}
E
21\text{ cm}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Note que o perímetro de cada quadrado é 3 \times 4 = 12. Portanto a soma dos perímetros é 12 \times 4 = 48. Por outro lado, o perímetro da figura não é 48, pois há três segmentos que são lados compartilhados de dois quadrados e são internos à figura. Veja os segmentos destacados em verde na figura.

[Figura: Quatro quadrados cinzas unidos, sendo dois dispostos horizontalmente no meio, um acima alinhado à esquerda e outro abaixo alinhado à direita, com segmentos internos destacados dividindo os quadrados.]

Na vertical, lados de dois quadrados são compartilhados. Na horizontal, além dos lados de dois quadrados, a soma dos outros pedaços compartilhados corresponde aos lados de outros dois quadrados. No total, ficaram compartilhados, como indicado pela linha verde, um tamanho igual a 18\text{ cm}, correspondentes a seis lados de um quadrado.

Assim, o perímetro da figura é 48 - 3 \times 3 \times 2 = 30\text{ cm}.

Outra solução: As duas figuras abaixo têm o mesmo perímetro.

A figura da direita tem perímetro igual a 10 vezes o lado do quadrado, ou seja 10 \times 3 = 30\text{ cm}.

[Figura: Dois diagramas ilustrando quatro quadrados representados por seus contornos: à esquerda, a configuração original; à direita, uma coluna vertical de três quadrados com um quarto quadrado adjacente ao quadrado do meio à direita.]

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Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

O perímetro é o comprimento do contorno externo. Cada quadrado tem lado de 3\ \text{cm} e 4 lados; as divisões internas não entram na conta.

Uma forma de contar: quatro quadrados separados teriam 4 \times 4 = 16 lados. Cada vez que dois quadrados se encostam, dois lados (um de cada quadrado) ficam escondidos no interior da figura.

Quadrado de cima encosta no da esquerda da faixa central: 1 contato.
Os dois quadrados da faixa central se encostam: 1 contato.
Quadrado de baixo encosta no da direita da faixa central: 1 contato.

São 3 contatos, ou seja, 3 \times 2 = 6 lados escondidos.

Lados no contorno: 16 - 6 = 10.

Perímetro:

10 \times 3 = 30\ \text{cm}

Conferindo na figura: o contorno vermelho tem 10 segmentos de 3\ \text{cm}. Em cima: 3 (lado esquerdo do quadrado superior, topo e lado direito) mais 3 de baixo da mesma forma, e a faixa central contribui com os outros trechos horizontais e verticais, totalizando 10 lados.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BConta 11 lados, incluindo algum segmento interno ou contando um trecho a mais.
CConta apenas 9 lados, esquecendo algum trecho do contorno.
DConta 8 lados, como se a figura fosse um retângulo de perímetro menor.
EConta 7 lados, perdendo vários trechos do contorno.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 16 no caderno Nível 1 da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2024 · Nível 1. Prova oficial ↗

Numeração da versão 1. Nas outras versões: versão 2, questão 17versão 3, questão 18versão 4, questão 15versão 5, questão 16