Questão 10 (Nível 1) da OBMEP 2022

Question

em uma tabela de acordo com o padrão apresentado na figura abaixo. Qual é a linha em que aparece o número 1001?

1^a. Linha	⤵	9	⤵	17	⤵	25	\cdots
2^a. Linha	2	8	10	16	18	24	\cdots
3^a. Linha	3	7	11	15	19	23	\cdots
4^a. Linha	4	6	12	14	20	22	\cdots
5^a. Linha	5	⤴	13	⤴	21	⤴	\cdots

A
1^a. Linha.
B
2^a. Linha.
C
3^a. Linha.
D
4^a. Linha.
E
5^a. Linha.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 1) da OBMEP 2022

Nível 1 · Matemática: Sequências e padrões

em uma tabela de acordo com o padrão apresentado na figura abaixo. Qual é a linha em que aparece o número 1001?

1^a. Linha	⤵	9	⤵	17	⤵	25	\cdots
2^a. Linha	2	8	10	16	18	24	\cdots
3^a. Linha	3	7	11	15	19	23	\cdots
4^a. Linha	4	6	12	14	20	22	\cdots
5^a. Linha	5	⤴	13	⤴	21	⤴	\cdots

A
1^a. Linha.
B
2^a. Linha.
C
3^a. Linha.
D
4^a. Linha.
E
5^a. Linha.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: A cada 2 colunas avançamos 8 números, com a seta apontando no mesmo sentido. Por exemplo, começamos com o 2 e oito números depois, ou seja, no 10, voltamos para a mesma linha, na mesma condição de seta para baixo.

Isso acarreta que todos os múltiplos de 8 ficam sempre na mesma linha – que é a segunda (com a seta para cima), como mostramos na figura abaixo:

[Figura: Tabela com 5 linhas (Linha 1 a Linha 5) e várias colunas mostrando o preenchimento dos números em zigue-zague, com setas pontilhadas indicando o sentido de preenchimento (descendo da Linha 2 até a 5 e subindo da Linha 4 até a 1). Os números 8, 16 e 24, localizados na Linha 2 com seta para cima, estão circulados em cinza e conectados por arcos curvos acima da tabela, ilustrando o avanço de 8 em 8 números.]

Como o número 1000 é múltiplo de 8, ele aparecerá na segunda linha com seta para cima e, portanto, o número 1001 estará na linha 1.

[Figura: Tabela esquemática com 5 linhas indicadas por asteriscos, mostrando a posição do múltiplo de 8 anterior (992) e de 1000, ambos circulados na segunda linha com setas pontilhadas para cima e conectados por um arco curvo, indicando que o número 1001 localiza-se na primeira linha da mesma coluna do 1000.]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Os números são escritos em zigue-zague: a 1ª coluna desce de 1 a 5, a 2ª coluna sobe de 6 a 9, a 3ª desce de 10 a 13, e assim por diante. Cada coluna usa 4 números novos depois da primeira, então o padrão se repete a cada 8 números (uma descida mais uma subida).

Confira o ciclo a partir do 2: 2 (2ª linha), 3 (3ª), 4 (4ª), 5 (5ª), 6 (4ª), 7 (3ª), 8 (2ª), 9 (1ª). Depois, o 10 volta à 2ª linha, e o padrão recomeça.

Os números que ficam na 1ª linha são 1, 9, 17, 25, ... Eles são da forma 8k+1.

Divida 1001 por 8: 1001 = 8\cdot 125 + 1.
Logo, 1001 = 8\cdot 125 + 1, que tem o formato 8k+1 com k=125.
Portanto, 1001 está na mesma linha de 1, 9, 17, 25, ou seja, na 1ª linha.

Verificação: 9 = 8\cdot1+1 e 17 = 8\cdot2+1 estão na 1ª linha, como mostra a tabela.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BA 2ª linha tem números do tipo 8k+2 e 8k, não 8k+1.
CA 3ª linha tem números do tipo 8k+3 e 8k+7, e 1001 deixa resto 1.
DA 4ª linha tem números do tipo 8k+4 e 8k+6, que não deixam resto 1.
EA 5ª linha tem apenas números do tipo 8k+5, e 1001 deixa resto 1.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 10 no caderno Nível 1 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 1. Prova oficial ↗