Questão 6 (Nível 1) da OBMEP 2022

Question

A primeira fase da OBMEP é composta por três provas, de níveis 1, 2 e 3, com 20 questões em cada prova. Nessas provas, três questões são comuns aos três níveis, duas são comuns somente aos níveis 1 e 2 e outras duas são comuns somente aos níveis 2 e 3. As demais questões só aparecem em uma das provas. Quantas questões diferentes aparecem nas três provas da primeira fase da OBMEP?

A
50
B
52
C
55
D
56
E
57

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 1) da OBMEP 2022

Nível 1 · Matemática: Conjuntos e conjuntos numéricos

A primeira fase da OBMEP é composta por três provas, de níveis 1, 2 e 3, com 20 questões em cada prova. Nessas provas, três questões são comuns aos três níveis, duas são comuns somente aos níveis 1 e 2 e outras duas são comuns somente aos níveis 2 e 3. As demais questões só aparecem em uma das provas. Quantas questões diferentes aparecem nas três provas da primeira fase da OBMEP?

A
50
B
52
C
55
D
56
E
57

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A prova do nível 1 tem 20 questões; a prova do nível 2 tem 15 questões diferentes das questões do nível 1, pois há 3 questões comuns aos três níveis e 2 questões que são partilhadas entre os níveis 2 e 3 (assim há somente 13 questões que só aparecem no nível 2). Do mesmo modo, a prova do nível 3 tem 15 questões que só aparecem nesse nível, pois 3 questões são comuns aos três níveis e duas questões são partilhadas apenas nas provas dos níveis 2 e 3.

Não há questões comuns apenas entre os níveis 1 e 3.

Logo, no total, o número de questões diferentes que aparecem nas provas da primeira fase é 20 + 15 + 15 = 50. Isso também pode ser visualizado no diagrama abaixo:

[Figura: Diagrama de Venn com três elipses representando os conjuntos de questões de Nível 1, Nível 2 e Nível 3. A elipse à esquerda representa o Nível 1, a do canto superior direito representa o Nível 2 e a inferior representa o Nível 3. Na região exclusiva do Nível 1 há o número 15; na interseção exclusiva entre Nível 1 e Nível 2 há o número 2; na interseção central dos três níveis há o número 3; na interseção exclusiva entre Nível 1 e Nível 3 há o número 0; na região exclusiva do Nível 2 há o número 13; na interseção exclusiva entre Nível 2 e Nível 3 há o número 2; na região exclusiva do Nível 3 há o número 15. Setas tracejadas partem dos números 13 e 2 para a soma externa 13 + 2 = 15.]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Cada prova tem 20 questões, então somando as três temos 3 \times 20 = 60 questões contadas. Só que as questões repetidas foram contadas mais de uma vez, e o que queremos é o número de questões diferentes.\n\nVeja quantas vezes cada tipo de questão foi contado:\n\n- as 3 questões comuns aos três níveis foram contadas 3 vezes cada, mas devem valer 1: sobram 2 contagens a mais por questão, ou seja, 3 \times 2 = 6 a descontar;\n- as 2 questões comuns aos níveis 1 e 2 foram contadas 2 vezes cada: 2 \times 1 = 2 a descontar;\n- as 2 questões comuns aos níveis 2 e 3 também foram contadas 2 vezes: 2 \times 1 = 2 a descontar.\n\nPortanto:\n\n1. Total contado: 60.\n2. Excesso a descontar: 6 + 2 + 2 = 10.\n3. Questões diferentes: 60 - 10 = 50.\n\nConferindo por outro caminho: a prova 1 tem 20 questões. A prova 2 traz 3 + 2 já contadas (as comuns com a prova 1), então 20 - 5 = 15 novas. A prova 3 já tem 3 (comuns a todos) + 2 (comuns com o nível 2) já contadas, então 20 - 5 = 15 novas. Total: 20 + 15 + 15 = 50.\n\nAlternativa A.

Pegadinha: As questões comuns aos três níveis são contadas 3 vezes, então é preciso descontar 2 por questão (e não 1); quem desconta só 1 chega a alternativas maiores que 50.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bdesconta apenas 8 do total de 60, errando o excesso das questões comuns aos três níveis.
Cdesconta só 5, tratando as questões repetidas como se fossem 5 duplicatas simples.
Ddesconta apenas 4, contando só as questões comuns a dois níveis e ignorando as comuns aos três.
Edesconta só 3, tirando apenas as questões comuns aos três níveis uma vez.

Assunto: Conjuntos e conjuntos numéricos.

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Questão 6 no caderno Nível 1 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 1. Prova oficial ↗