Questão 2 (Nível 1) da OBMEP 2022

Resolução comentada

Num quadriculado n \times n há linhas horizontais e linhas verticais de palitos. Cada linha de palitos tem n palitos (um por lado de quadradinho).

Quantas linhas existem? Um quadriculado n \times n tem n+1 linhas horizontais e n+1 linhas verticais.

Conferindo com o enunciado:

1. 1 \times 1: 2 horizontais e 2 verticais, cada uma com 1 palito: 4 \cdot 1 = 4 palitos.
2. 2 \times 2: 3 horizontais e 3 verticais, cada uma com 2 palitos: 6 \cdot 2 = 12 palitos.

A fórmula é: total = 2 \cdot (n+1) \cdot n.

Para n = 5:

Outra forma de checar é pela sequência: 4, 12, 24 (para 3\times3: 2\cdot4\cdot3), 40 (para 4\times4), 60 (para 5\times5). Cada passo acrescenta 8, 12, 16, 20 palitos, o que bate com o padrão.

São necessários 60 palitos.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACalcula só 10 \cdot 5, esquecendo-se de que há linhas horizontais e verticais (ou conta apenas n+1 linhas de um tipo).
• BNão tem base no padrão; resulta de soma errada dos acréscimos da sequência.
• DSegue um padrão que não condiz com 4 e 12 (por exemplo, soma de 8 em 8 palitos a cada passo).
• EUsa 2 \cdot 5 \cdot 10, contando linhas demais; ignora que há n+1=6 linhas de cada tipo.

Assunto: Sequências e padrões.

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