Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2019

Question

Na conta ao lado, as letras A, B e C representam algarismos não nulos e diferentes entre si. Qual é o valor de C?

\begin{array}{ccc} & \text{A} & \text{B} \\ \times & & \text{C} \\ \hline \text{A} & \text{A} & \text{A} \end{array}

A
1
B
3
C
5
D
7
E
9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2019

Nível 3 · Matemática: Sistemas de numeração

Na conta ao lado, as letras A, B e C representam algarismos não nulos e diferentes entre si. Qual é o valor de C?

\begin{array}{ccc} & \text{A} & \text{B} \\ \times & & \text{C} \\ \hline \text{A} & \text{A} & \text{A} \end{array}

A
1
B
3
C
5
D
7
E
9

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observando que \text{AAA} = A \times 111 = A \times 3 \times 37, temos as seguintes possibilidades:

A = 1. Não serve pois teríamos, obrigatoriamente, AB = 37 e o primeiro dos A´s na conta seria 3 e não 1.

A = 2. Não serve pois teríamos AB = 37 com B = 6 ou AB = 74 com B = 3. Nos dois casos, olhando para o primeiro dos A’s na conta, teríamos A \neq 2.

A = 3. Serve pois AB seria 37 e, consequentemente, A = 3, B = 7 e C = 9.

A = 4. Não serve, AB seria 74 e C = 6, ou seja, o primeiro A da conta seria 7 \neq 4.

A = 5. Não serve, pois teríamos C com 2 algarismos ou AB com 3 algarismos.

A = 6. Não serve, AB seria 74 e C = 9, ou seja, o primeiro A da conta seria 7 \neq 6.

A > 6. Não serve, pois teríamos C com 2 algarismos ou AB com 3 algarismos.

Logo, C = 9.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

A conta é \overline{AB}\times C=\overline{AAA}. Um número com três algarismos iguais pode ser escrito como \overline{AAA}=111\cdot A, e 111=3\cdot 37.

Assim, (10A+B)\cdot C = 3\cdot 37\cdot A.

O número \overline{AB} tem dois algarismos e C é um algarismo de 1 a 9. O fator primo 37 precisa aparecer em \overline{AB} ou em C. Como C<37, ele está em \overline{AB}, que então é múltiplo de 37: 37, 74 (os de dois algarismos).
Se \overline{AB}=37: 37\cdot C=111A dá C=3A. Com A=3 teríamos C=9, mas então A=3 e B=7, e o produto é 37\cdot 9=333. Confere: A=3, B=7, C=9, todos diferentes e não nulos.
Se \overline{AB}=74: 74C=111A dá C=\tfrac{3A}{2}=\tfrac{3\cdot 7}{2}, que não é inteiro. Não serve.

Portanto a única solução é 37\times 9=333, com C=9.

Alternativa E.

Pegadinha: As alternativas 3 e 7 enganam porque aparecem como algarismos da própria solução (A=3 e B=7), mas o pedido é o valor de C, que é 9.

Por que as outras alternativas estão erradas

AC=1 daria AB=AAA, impossível, pois AB tem só dois algarismos.
BConfunde com o fator 3 de 111 (ou com o algarismo A=3); C=3 não satisfaz a conta.
CCom C=5 o produto termina em 0 ou 5, então A=5 e AB·5=555 daria AB=111, absurdo.
DConfunde com o algarismo B=7; com C=7, AB·7=111A não tem solução de dois algarismos.

Assunto: Sistemas de numeração.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 7 no caderno Nível 3 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 3. Prova oficial ↗