Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2019

Question

Em uma lanchonete, um pão de queijo, dois cachorros-quentes e um suco de laranja custam juntos R$ 31,00; já três pães de queijo, três cachorros-quentes e dois sucos de laranja custam juntos R$ 59,00. Qual é a diferença entre os preços de um cachorro-quente e de um pão de queijo?

Ilustração de um saco de papel com pães de queijo, um copo de suco com uma fatia de laranja e um cachorro-quente

A
R$ 1,00
B
R$ 1,50
C
R$ 2,00
D
R$ 2,50
E
R$ 3,00

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2019

Nível 3 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Em uma lanchonete, um pão de queijo, dois cachorros-quentes e um suco de laranja custam juntos R$ 31,00; já três pães de queijo, três cachorros-quentes e dois sucos de laranja custam juntos R$ 59,00. Qual é a diferença entre os preços de um cachorro-quente e de um pão de queijo?

Ilustração de um saco de papel com pães de queijo, um copo de suco com uma fatia de laranja e um cachorro-quente

A
R$ 1,00
B
R$ 1,50
C
R$ 2,00
D
R$ 2,50
E
R$ 3,00

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos usar as letras p, c e s para denotar o preço (em reais) de um pão de queijo, de um cachorro-quente e de um suco de laranja, respectivamente. O enunciado nos diz que p + 2c + s = 31 e 3p + 3c + 2s = 59. Multiplicando a primeira expressão por 2 e subtraindo do resultado a segunda expressão, obtemos

2(p + 2c + s) - (3p + 3c + 2s) = c - p

e, por outro lado,

2(p + 2c + s) - (3p + 3c + 2s) = 2 \cdot 31 - 59 = 3

ou seja, c - p = 3.

Vamos a outra solução; ao contrário da anterior, onde o c - p apareceu “por acaso”, nessa vamos sistematicamente em busca de c - p, escrevendo

31 = p + 2c + s = 2(c - p) + 3p + s

e

59 = 3p + 3c + 2s = 3(c - p) + 6p + 2s.

Observando essas expressões, notamos que o 6p + 2s da segunda é duas vezes o 3p + s da primeira, o que sugere multiplicar a primeira expressão por 2 e subtrair a segunda do resultado, pois assim os termos em p e s desaparecem, restando apenas um termo em c - p. Temos então

2 \cdot 31 - 59 = [4(c - p) + 6p + 2s] - [3(c - p) + 6p + 2s] = c - p

ou seja, temos c - p = 3 como antes.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Chame de p o preço do pão de queijo, c o do cachorro-quente e s o do suco. O enunciado dá duas equações:

p + 2c + s = 31 \quad (I)

3p + 3c + 2s = 59 \quad (II)

Queremos c - p. São três incógnitas e só duas equações, então a ideia é eliminar s e ver se sobra a diferença que pedem.

Multiplique (I) por 2 para igualar o coeficiente do suco: 2p + 4c + 2s = 62.
Subtraia (II) dessa nova equação, termo a termo: (2p + 4c + 2s) - (3p + 3c + 2s) = 62 - 59.
Faça a conta: 2p - 3p + 4c - 3c + 2s - 2s = 3, ou seja, -p + c = 3.

Logo c - p = 3: o cachorro-quente custa R$ 3,00 a mais que o pão de queijo.

Não precisamos achar cada preço, pois a combinação das equações já entrega exatamente a diferença pedida.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a subtração das equações; a diferença correta é 3, não 1.
BNão resulta da eliminação do suco; a subtração dá 3.
CErro de conta ao subtrair 62 − 59, obtendo 2 em vez de 3.
DValor intermediário sem base nas equações; a diferença é 3.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 3. Prova oficial ↗