Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2018

Question

Em um quadrilátero ABCD, os lados AB e CD não são paralelos, e suas medidas são iguais a 2\text{ cm} e 12\text{ cm}, respectivamente. Dentre as opções abaixo, qual é a única que pode representar a medida do segmento que une os pontos médios dos lados AD e BC?

A
4{,}5\text{ cm}
B
5{,}0\text{ cm}
C
6{,}5\text{ cm}
D
7{,}0\text{ cm}
E
7{,}5\text{ cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2018

Nível 3 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Em um quadrilátero ABCD, os lados AB e CD não são paralelos, e suas medidas são iguais a 2\text{ cm} e 12\text{ cm}, respectivamente. Dentre as opções abaixo, qual é a única que pode representar a medida do segmento que une os pontos médios dos lados AD e BC?

A
4{,}5\text{ cm}
B
5{,}0\text{ cm}
C
6{,}5\text{ cm}
D
7{,}0\text{ cm}
E
7{,}5\text{ cm}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Sejam M e N os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Vamos acrescentar aos dados do problema a diagonal AC e seu ponto médio P, como na figura:

[Figura: Quadrilátero ABCD com lados AB medindo 2 cm e CD medindo 12 cm. A diagonal AC está traçada em linha tracejada, com o ponto médio P. Os pontos médios M e N estão nos lados AD e BC, respectivamente, formando o triângulo MNP, onde o segmento PM mede 6 cm e o segmento PN mede 1 cm.]

PN é base média do triângulo CAB; logo, PN = (AB/2) = 1\text{ cm} e a reta PN é paralela à reta AB.

PM é base média do triângulo ACD; logo, PM = (CD/2) = 6\text{ cm} e a reta PM é paralela à reta CD.

Como AB não é paralelo a CD, temos que M, P e N não estão alinhados, de modo que existe o triângulo MNP.

Da condição de existência de um triângulo, temos que 6 - 1 < MN < 6 + 1, ou seja, 5 < MN < 7.

Portanto, dentre as opções, a única que poderia representar a medida de MN é 6{,}5\text{ cm}.

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Resolução comentada

Sejam M e N os pontos médios de AD e BC. Para relacionar MN com AB e CD, use a diagonal AC e seu ponto médio P.

No triângulo ACD, PM une os pontos médios de AC e AD. Logo PM \parallel CD e PM = \dfrac{CD}{2} = 6\ \text{cm}.
No triângulo ABC, PN une os pontos médios de AC e BC. Logo PN \parallel AB e PN = \dfrac{AB}{2} = 1\ \text{cm}.
No triângulo PMN, vale a desigualdade triangular: 6-1 \le MN \le 6+1, ou seja, 5 \le MN \le 7.
Os extremos 5 e 7 só ocorrem quando P, M, N são colineares. Isso acontece quando PM e PN são paralelos entre si, ou seja, AB \parallel CD. Como o enunciado diz que os lados não são paralelos, o triângulo PMN é de fato um triângulo, e 5 < MN < 7.
Entre as opções, 4{,}5, 7 e 7{,}5 estão fora do intervalo aberto, e 5{,}0 é um extremo, excluído. Resta 6{,}5\ \text{cm}, que está em (5,7).

Alternativa C.

Pegadinha: As alternativas B e D são os extremos 5 e 7, que valeriam se os lados fossem paralelos; a informação de que não são paralelos é que as elimina.

Por que as outras alternativas estão erradas

A4,5 cm é menor que 5, violando a desigualdade triangular (|6−1| = 5).
B5,0 cm só ocorreria com AB paralelo a CD, o que o enunciado exclui.
D7,0 cm também exigiria AB paralelo a CD (caso degenerado).
E7,5 cm é maior que 6+1 = 7, impossível.

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 20 no caderno Nível 3 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 3. Prova oficial ↗