Questão 1 (Nível 2) da OBMEP 2018

Question

Miguel tinha em sua carteira várias notas de 2, 5, 10, 20 e 50 reais. Ele pagou 63 reais por um livro com seis dessas notas, sem ter troco a receber. Quantas notas de 2 reais ele usou?

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Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 2) da OBMEP 2018

Nível 2 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Miguel tinha em sua carteira várias notas de 2, 5, 10, 20 e 50 reais. Ele pagou 63 reais por um livro com seis dessas notas, sem ter troco a receber. Quantas notas de 2 reais ele usou?

A
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Solução oficial da OBMEP

Sem usar a nota de 5 reais, Miguel não somaria o valor pago, pois as demais notas têm valores pares e, portanto, ele não conseguiria uma soma ímpar. Assim, ele precisa escolher mais 5 notas cuja soma seja 63 - 5 = 58. Portanto, ele precisa escolher algumas notas, dentre as de 2 e 5 reais, cuja soma seja 8 (para isso, ele não usa as outras notas, pois elas têm valor maior do que 8). Nesse caso, a única escolha para somar 8 é escolher quatro notas de 2 reais. Sendo assim, Miguel já separou cinco notas, uma de 5 reais e quatro de 2, somando 5 + 4 \times 2 = 5 + 8 = 13 reais. Como ele fez a compra com seis notas, para somar 63 reais, ele usou uma nota de 50, uma de 5 e quatro notas de 2 reais.

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Resolução comentada

Precisamos de seis notas, entre 2, 5, 10, 20 e 50, somando 63.

Paridade: 63 é ímpar. As notas de 2, 10, 20 e 50 são pares; só a de 5 é ímpar. Para a soma ser ímpar, o número de notas de 5 precisa ser ímpar: 1, 3 ou 5.

Testando:

Com 5 notas de 5: 25 reais, e a sexta nota teria de valer 38, que não existe.
Com 3 notas de 5: 15 reais, restam 3 notas somando 48. Com 2, 10, 20 e 50, só dá com $2+... $: testando, 20+20+10=50, 20+20+2=42, 20+20+20=60, 20+10+10=40... nenhuma dá 48. Não serve.
Com 1 nota de 5: restam 5 notas somando 58. Tentando: 20+20+10+4 não existe; vejamos 20+20+10+2+2=54, 20+20+2+2+2=46; 50+2+2+2+2=58. Funciona: uma nota de 50 e quatro de 2.

Conferindo: 5+50+2+2+2+2=63, com seis notas.

Essa é a solução, e ela usa 4 notas de 2 reais.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASem notas de 2 não se chega a 63 com seis notas; as combinações possíveis não fecham a soma.
BCom apenas uma nota de 2, não há como completar 63 com as outras cinco notas.
CDuas notas de 2 não permitem fechar 63 com seis notas no total.
DTrês notas de 2 não levam a uma soma 63 com seis notas.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 1 no caderno Nível 2 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 2. Prova oficial ↗