Questão 6 (Nível 1) da OBMEP 2017

Question

Na rede de distribuição de água representada abaixo, a água passa pelos canos como indicado pelas setas e se distribui igualmente em cada ramificação. Em uma hora passaram 200 mil litros de água pela saída X. Quantos litros de água passaram pela saída Y nessa mesma hora?

Esquema de uma rede de distribuição de água onde um cano principal com fluxo para a direita se bifurca em dois: o ramo superior segue e se divide em três ramificações (a de cima leva à saída X) e o ramo inferior segue e se divide em duas ramificações (a de baixo leva à saída Y).

A
100 mil litros
B
130 mil litros
C
300 mil litros
D
450 mil litros
E
600 mil litros

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 1) da OBMEP 2017

Nível 1 · Matemática: Grandezas proporcionais e divisão proporcional

Na rede de distribuição de água representada abaixo, a água passa pelos canos como indicado pelas setas e se distribui igualmente em cada ramificação. Em uma hora passaram 200 mil litros de água pela saída X. Quantos litros de água passaram pela saída Y nessa mesma hora?

Esquema de uma rede de distribuição de água onde um cano principal com fluxo para a direita se bifurca em dois: o ramo superior segue e se divide em três ramificações (a de cima leva à saída X) e o ramo inferior segue e se divide em duas ramificações (a de baixo leva à saída Y).

A
100 mil litros
B
130 mil litros
C
300 mil litros
D
450 mil litros
E
600 mil litros

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como indicado na figura ao lado, vamos chamar de A o cano que se ramifica em três saídas, sendo uma delas a saída X, e de B o cano que se ramifica em duas saídas, sendo uma delas a saída Y. Como a água que passa pelos canos distribui-se igualmente em cada ramificação, pelo cano A passa, por hora, 3 vezes a quantidade de água que passa pela saída X, enquanto pelo cano B passa, por hora, 2 vezes a quantidade de água que passa pela saída Y. Como os canos A e B são as únicas saídas de uma mesma ramificação, a quantidade de água que passa por eles em uma hora é a mesma. Assim, 3 vezes a quantidade de água que passa por hora pela saída X é igual a 2 vezes a quantidade de água por hora que passa pela saída Y. Mas, a quantidade de água que passa por X é 200 mil litros; logo, a quantidade de água que passa pela saída Y por hora é a metade de 600 mil litros, ou seja, 300 mil litros.

[Figura: Esquema de encanamento mostrando uma tubulação de entrada pela esquerda que se bifurca em dois canos, indicados pelas letras A (ramo horizontal superior) e B (ramo vertical que dobra para baixo). O cano A se ramifica em três saídas (a superior identificada com a letra X) e o cano B se ramifica em duas saídas (a inferior identificada com a letra Y). Setas indicam o fluxo da água.]

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Resolução comentada

Em cada ramificação a água se divide em partes iguais, então basta seguir a fração do total que chega a cada saída.

Seja T o total que entra no cano principal.

No primeiro ponto de bifurcação, o cano se divide em três caminhos iguais: o de cima, o do meio (que vai direto a uma saída) e o de baixo. Cada um recebe \frac{T}{3}.
O caminho de cima se divide de novo em três partes iguais, e uma delas é a saída X. Então X=\frac{1}{3}\cdot\frac{T}{3}=\frac{T}{9}.
O caminho de baixo se divide em duas partes iguais, e uma delas é a saída Y. Então Y=\frac{1}{2}\cdot\frac{T}{3}=\frac{T}{6}.

Como X = 200 mil litros:

\frac{T}{9}=200\,000 \Rightarrow T=1\,800\,000\ \text{L}

Então:

Y=\frac{1\,800\,000}{6}=300\,000\ \text{L}

Por outro caminho: o ramo de baixo recebe \frac{T}{3}=600 mil litros, e metade disso, 300 mil litros, vai para Y.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem para no ramo de baixo (600 mil litros) e esquece a última divisão por 2 antes da saída Y.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASupõe que Y receba o mesmo que X, ou divide 200 mil por 2, sem acompanhar as frações de cada ramificação.
BNão corresponde a nenhuma divisão correta do total de 1,8 milhão de litros; é valor sem fundamento nas frações.
DUsa 1,8 milhão dividido por 4 (450 mil), como se a divisão fosse em quatro partes.
EÉ o valor que chega ao ramo de baixo (T/3 = 600 mil), esquecendo de dividir por 2 na última ramificação.

Assunto: Grandezas proporcionais e divisão proporcional.

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Questão 6 no caderno Nível 1 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 1. Prova oficial ↗