Questão 3 (Nível 2) da OBMEP 2017

Question

Dentro de três sacolas idênticas foram colocados objetos de pesos a, b, e c, como na figura. Com isso, o peso da sacola 1 ficou menor que o peso da sacola 2, que por sua vez ficou menor que o peso da sacola 3. Qual das desigualdades abaixo é verdadeira?

Três sacolas plásticas transparentes: a sacola 1 contém duas bolas com a letra a e uma com a letra b; a sacola 2 contém uma bola com a letra b e duas com a letra c; a sacola 3 contém uma bola com a letra a e duas com a letra b.

A
a < b < c
B
a < c < b
C
b < a < c
D
b < c < a
E
c < a < b

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Inequações e desigualdades

Dentro de três sacolas idênticas foram colocados objetos de pesos a, b, e c, como na figura. Com isso, o peso da sacola 1 ficou menor que o peso da sacola 2, que por sua vez ficou menor que o peso da sacola 3. Qual das desigualdades abaixo é verdadeira?

Três sacolas plásticas transparentes: a sacola 1 contém duas bolas com a letra a e uma com a letra b; a sacola 2 contém uma bola com a letra b e duas com a letra c; a sacola 3 contém uma bola com a letra a e duas com a letra b.

A
a < b < c
B
a < c < b
C
b < a < c
D
b < c < a
E
c < a < b

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Resolução comentada

As sacolas são idênticas, então basta comparar o peso do conteúdo. Pela figura:

sacola 1: 2a + b
sacola 2: b + 2c
sacola 3: a + 2b

O enunciado diz que sacola 1 < sacola 2 < sacola 3.

Sacola 1 < sacola 2: 2a + b < b + 2c. Cortando b dos dois lados, temos 2a < 2c, ou seja, a < c.
Sacola 2 < sacola 3: b + 2c < a + 2b. Passando b para o lado direito, temos 2c < a + b.
Como a < c, podemos escrever a + b > 2c > 2a. Então b > 2a - a = a (de a + b > 2a), mas isso só repete a < b. Precisamos comparar b com c.
De 2c < a + b e a < c: 2c < a + b < c + b. Cortando c, temos c < b.

Juntando: a < c e c < b, logo a < c < b.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AInverte a ordem de b e c; da desigualdade 2c < a + b com a < c sai c < b, não b < c.
CColoca b menor que a, mas a < c < b contradiz isso.
DColoca a como o maior, contrariando a < c obtido da sacola 1 < sacola 2.
EColoca c menor que a, contrariando 2a < 2c.

Assunto: Inequações e desigualdades.

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Questão 3 no caderno Nível 2 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗