Correção FUVEST 2027 · 1ª faseAcompanhe a resolução de cada questão da 1ª fase, ao vivoAcompanhar
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Progressão aritmética

Qual é o valor da expressão abaixo?

\frac{-1 \times 2 + 2 \times 3 - 3 \times 4 + 4 \times 5 - 5 \times 6 + \cdots - 49 \times 50 + 50 \times 51}{1 + 2 + 3 + \cdots + 25}
  1. A
    4
  2. B
    5
  3. C
    6
  4. D
    7
  5. E
    8
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Resolução comentada

Observe que o numerador alterna os sinais: -1\times2+2\times3-3\times4+\cdots-49\times50+50\times51. Há 50 produtos, então podemos agrupá-los em 25 pares, cada um com um produto negativo seguido de um positivo.

Cada par tem a forma -(2j-1)(2j)+(2j)(2j+1), com j=1,2,\ldots,25. Colocando 2j em evidência:

2j\,[(2j+1)-(2j-1)] = 2j\cdot 2 = 4j

Teste com j=1: -1\times2+2\times3=4, o que confere.

  1. O numerador é 4(1+2+\cdots+25).
  2. O denominador é exatamente 1+2+\cdots+25.
  3. Essa soma vale \dfrac{25\times26}{2}=325, mas nem precisa ser calculada: ela aparece nos dois lugares e se cancela.
\frac{4\cdot 325}{325}=4

O numerador vale 1300 e o denominador 325, e 1300\div325=4.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BResultado sem base no agrupamento; cada par vale 4j, o que dá razão 4, não 5.
  • CResultado sem base no agrupamento; o numerador é 4 vezes o denominador, não 6.
  • DValor sem relação com a soma dos pares 4j; a razão correta é 4.
  • EProvável erro ao calcular a diferença de cada par (como 8j), dobrando o resultado.

Assunto: Progressão aritmética.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 17 no caderno Nível 2 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗