Questão 10 (Nível 1) da OBMEP 2017

Question

Em uma mesa há nove cartões numerados de 1 a 9. Ana e Beto pegaram três cartões cada um. A soma dos números dos cartões de Ana é 7 e a soma dos números dos cartões de Beto é 23. Qual é a diferença entre o maior e o menor dos números dos três cartões deixados sobre a mesa?

Ilustração de duas crianças, um menino e uma menina, sentadas à frente de uma mesa. Cada criança segura três cartões virados para si, enquanto três cartões repousam sobre a mesa.

A
3
B
4
C
5
D
6
E
7

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 1) da OBMEP 2017

Nível 1 · Matemática: Frações, decimais e operações básicas

Em uma mesa há nove cartões numerados de 1 a 9. Ana e Beto pegaram três cartões cada um. A soma dos números dos cartões de Ana é 7 e a soma dos números dos cartões de Beto é 23. Qual é a diferença entre o maior e o menor dos números dos três cartões deixados sobre a mesa?

Ilustração de duas crianças, um menino e uma menina, sentadas à frente de uma mesa. Cada criança segura três cartões virados para si, enquanto três cartões repousam sobre a mesa.

A
3
B
4
C
5
D
6
E
7

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A soma dos números dos cartões de Ana é 7, logo, ela pegou os cartões de números 1, 2 e 4, pois esta é a única possibilidade de decomposição do número 7 como soma de três parcelas diferentes, cada uma delas compreendida de 1 a 9. Como 23 é ímpar, temos as seguintes alternativas para os números dos cartões de Beto:

Os três números são ímpares. Isso é impossível, pois a maior soma possível, nesse caso, é 5 + 7 + 9 = 21, menor do que 23.
Um número é ímpar e os outros dois são pares: como Ana está com os cartões de números 2 e 4, a única possibilidade é Beto ter pego os cartões de números 6, 8 e 9.

Então, na mesa ficaram os cartões de números 3, 5 e 7. A diferença entre o maior e o menor deles é 7 - 3 = 4.

Outra solução: A soma máxima de três cartas é 9 + 8 + 7 = 24. Se a soma de Beto é 23, então, ele tem necessariamente as cartas 9, 8 e 6. A soma mínima de três cartas é 1 + 2 + 3 = 6. Se a soma de Ana é 7, então, ela tem necessariamente 1, 2 e 4. Portanto, na mesa temos as cartas 3, 5 e 7, e a diferença entre a maior e a menor é 7 - 3 = 4.

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Resolução comentada

A soma de todos os cartões de 1 a 9 é 1+2+\dots+9=45.

Ana e Beto ficaram com 7+23=30, então os três cartões da mesa somam 45-30=15.

Agora descobrimos quais cartões cada um tem.

Ana soma 7 com três cartões diferentes. A única possibilidade é 1+2+4=7, pois 1+2+3=6 é pouco, e qualquer outra trinca com soma 7 repete número ou passa de 7. Logo, Ana tem 1, 2 e 4.
Beto soma 23 com três cartões diferentes, sem usar 1, 2 e 4. Os maiores são 9, 8 e 7, que somam 24. Para chegar a 23, é preciso reduzir 1 unidade: trocar o 7 por 6. Então Beto tem 9, 8 e 6: 9+8+6=23. Outras combinações não dão 23 (por exemplo, 9+7+6=22).
Sobram na mesa os cartões 3, 5 e 7. Conferindo: 3+5+7=15.

A diferença entre o maior e o menor é 7-3=4.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AParece vir de 5−2 ou outra diferença errada; os cartões da mesa são 3, 5 e 7, e 7−3 não é 3.
CUsaria cartões como 3 e 8 ou 2 e 7, que não correspondem à distribuição obrigatória.
DDaria, por exemplo, 9−3 ou 7−1, usando cartões que pertencem a Ana ou Beto.
EResultaria de 7−0 ou 9−2, usando cartões que não estão na mesa.

Assunto: Frações, decimais e operações básicas.

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Questão 10 no caderno Nível 1 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 1. Prova oficial ↗