Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2016

Resolução comentada

Numere os quadradinhos de 1 a 17. Como Jurema pinta 13 consecutivos, o primeiro pintado pode ser qualquer um de 1 a 5, pois o último pintado é o primeiro mais 12, e deve ser no máximo 17.

Veja os dois casos extremos:

1. Pintando do 1 ao 13: ficam pintados os quadradinhos 1, 2, ..., 13.
2. Pintando do 5 ao 17: ficam pintados os quadradinhos 5, 6, ..., 17.

Os quadradinhos pintados em qualquer escolha são os que aparecem em todas as possibilidades. Os casos intermediários (começando em 2, 3 ou 4) cobrem sempre o trecho de 5 a 13, que está em todos eles.

O trecho comum aos dois extremos é do 5 ao 13:

Outra forma de ver: sobram 17-13=4 quadradinhos sem pintar. Eles ficam nas pontas, e a faixa tem 17-2\cdot 4 = 9 quadradinhos no meio que nunca ficam de fora.

Portanto, 9 quadradinhos são pintados obrigatoriamente.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BConta errada no intervalo comum, obtendo 10 em vez de 9 (como 13 − 5 + 2).
• CNão corresponde ao trecho comum entre as escolhas extremas, que tem 9 quadradinhos.
• DNão corresponde ao trecho comum; seria 17 − 5, subtraindo só uma vez e sem considerar as duas pontas.
• EConfunde o total pintado (13) com os quadradinhos que sempre ficam pintados.

Assunto: Conjuntos e conjuntos numéricos.

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