Juliana começou a escrever, em ordem crescente, uma lista dos números inteiros positivos cuja soma dos algarismos é divisível por 5. Sua lista começou com 5, 14, 19, 23, e terminou quando ela encontrou dois números consecutivos. Qual é a soma dos algarismos do penúltimo número dessa lista?
A
10
B
20
C
30
D
40
E
50
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Procuramos o primeiro par de números consecutivos n e n+1 cujas somas de algarismos S(n) e S(n+1) são ambas múltiplas de 5.
Se nnão termina em 9, somar 1 aumenta só o último algarismo, então S(n+1)=S(n)+1. Dois números seguidos não podem ser ambos múltiplos de 5, então isso não serve.
Se n termina em exatamente k noves, ao somar 1 esses noves viram zeros e o algarismo anterior sobe 1. Logo S(n+1)=S(n)-9k+1.
Para os dois serem múltiplos de 5, a diferença -9k+1 também deve ser múltiplo de 5. Como -9\equiv 1 \pmod 5, precisamos de k+1\equiv 0, ou seja, k=4 (o menor valor possível).
Então n=\overline{d9999}, com d\neq 9. Sua soma é d+36, que deve ser múltiplo de 5. O menor d que serve é d=4, pois 4+36=40. Com d de 1 a 3 não dá, e com menos algarismos (9999, soma 36) também não.
Assim n=49999, com soma 40, e o seguinte é 50000, com soma 5. Esse é o primeiro par consecutivo.
O penúltimo número da lista é 49999, e a soma dos seus algarismos é 4+9+9+9+9=40.
Alternativa D.
Por que as outras alternativas estão erradas
ASoma 10 não corresponde a nenhum candidato válido; o par consecutivo exige quatro noves finais, o que dá soma bem maior.
BSoma 20 seria de um número pequeno demais, que não tem os quatro noves exigidos.
CSoma 30 não é atingida pelo menor número da forma d9999 com soma múltipla de 5.
ESoma 50 corresponderia a outro número, maior que 49999, e não ao primeiro par consecutivo.
