Questão 15 (Nível 1) da OBMEP 2016

Resolução comentada

Chame a fração desconhecida de \frac{a}{b} e a outra de \frac{c}{3}, com a, b, c naturais. Queremos o menor a possível.

Primeiro, isolamos a fração desconhecida:

Como \frac{a}{b} precisa ser positiva, 15-11c>0, então c=0 ou c=1.

1. Com c=0 a segunda fração vale zero e a primeira seria o próprio \frac{5}{11}. Isso não é uma soma de duas frações de verdade, então a figura pede c=1.
2. Com c=1: \frac{a}{b}=\frac{15-11}{33}=\frac{4}{33}.

Agora, \frac{a}{b} pode ser qualquer fração equivalente a \frac{4}{33}. Como \frac{4}{33} já é irredutível (4 e 33 não têm fator comum), todas as equivalentes são \frac{4k}{33k}, com k natural. O menor numerador é obtido com k=1, ou seja, a=4.

Conferindo: \frac{4}{33}+\frac{1}{3}=\frac{4}{33}+\frac{11}{33}=\frac{15}{33}=\frac{5}{11}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANumerador 1 não gera fração equivalente a 4/33; a fração é irredutível e o numerador mínimo é 4.
• BNumerador 2 exigiria a fração 2/b = 4/33, o que daria b = 16,5, não natural.
• CNumerador 3 exigiria b = 24,75, não natural.
• ENumerador 5 não é múltiplo de 4, logo não é equivalente a 4/33.

Assunto: Frações, decimais e operações básicas.

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