Questão 1 (Nível 2) da OBMEP 2016

Question

As três faixas horizontais da bandeira ao lado têm mesmo comprimento, mesma altura e cada faixa é dividida em partes iguais. A área total da bandeira é 900\ \text{cm}^2. Qual é a soma das áreas dos retângulos brancos?

Bandeira retangular presa a uma haste vertical, composta por três faixas horizontais de mesma altura e comprimento. A faixa superior é dividida em quatro partes iguais (laranja, branco, azul e branco). A faixa central é dividida em três partes iguais (verde, branco e rosa). A faixa inferior é dividida em cinco partes iguais (amarelo, branco, roxo, branco e azul claro).

A
300\ \text{cm}^2
B
370\ \text{cm}^2
C
375\ \text{cm}^2
D
450\ \text{cm}^2
E
600\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 2) da OBMEP 2016

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

As três faixas horizontais da bandeira ao lado têm mesmo comprimento, mesma altura e cada faixa é dividida em partes iguais. A área total da bandeira é 900\ \text{cm}^2. Qual é a soma das áreas dos retângulos brancos?

Bandeira retangular presa a uma haste vertical, composta por três faixas horizontais de mesma altura e comprimento. A faixa superior é dividida em quatro partes iguais (laranja, branco, azul e branco). A faixa central é dividida em três partes iguais (verde, branco e rosa). A faixa inferior é dividida em cinco partes iguais (amarelo, branco, roxo, branco e azul claro).

A
300\ \text{cm}^2
B
370\ \text{cm}^2
C
375\ \text{cm}^2
D
450\ \text{cm}^2
E
600\ \text{cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Cada faixa da bandeira tem área igual a 300\text{ cm}^2. As partes brancas da faixa superior têm, portanto, área igual a 150\text{ cm}^2. A parte branca da faixa do meio tem área igual a 100\text{ cm}^2 e as partes brancas da faixa inferior têm área 120\text{ cm}^2. Logo, a soma das áreas dos retângulos brancos é 150 + 100 + 120 = 370\text{ cm}^2.

Em outras palavras, se A_1, A_2 e A_3 são as áreas dos retângulos brancos, respectivamente, em cada uma das três faixas, então, a área total de todos os retângulos brancos é A_1 + A_2 + A_3 = 150 + 100 + 120 = 370\text{ cm}^2.

[Figura: Representação de cada uma das três faixas retangulares divididas em partes iguais com os respectivos cálculos ao lado: a primeira dividida em 4 partes iguais com 2 brancas, ao lado da equação A_1 = \frac{2}{4} \times 300 = 150\text{ cm}^2; a segunda dividida em 3 partes iguais com 1 branca, ao lado da equação A_2 = \frac{1}{3} \times 300 = 100\text{ cm}^2; e a terceira dividida em 5 partes iguais com 2 brancas, ao lado da equação A_3 = \frac{2}{5} \times 300 = 120\text{ cm}^2.]

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Resolução comentada

Cada faixa tem a mesma área, pois têm mesmo comprimento e mesma altura. Como a bandeira tem 900\ \text{cm}^2 e são 3 faixas, cada faixa mede:

\frac{900}{3} = 300\ \text{cm}^2

Agora olhamos para cada faixa e vemos que fração dela é branca:

Faixa superior: dividida em 4 partes iguais, com 2 brancas. Fração branca: \frac{2}{4}=\frac{1}{2}, ou seja, \frac{1}{2}\cdot 300 = 150\ \text{cm}^2.
Faixa central: dividida em 3 partes iguais, com 1 branca. Fração branca: \frac{1}{3}, ou seja, \frac{1}{3}\cdot 300 = 100\ \text{cm}^2.
Faixa inferior: dividida em 5 partes iguais, com 2 brancas. Fração branca: \frac{2}{5}, ou seja, \frac{2}{5}\cdot 300 = 120\ \text{cm}^2.

Somando as áreas brancas:

150 + 100 + 120 = 370\ \text{cm}^2

Os retângulos de uma mesma faixa são iguais entre si, mas de faixas diferentes têm tamanhos diferentes, por isso calculamos faixa por faixa.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera apenas a área de uma faixa inteira, sem calcular a parte branca.
CValor sem origem nas frações das faixas; não corresponde à soma 150+100+120.
DSupõe que metade da bandeira é branca, generalizando a faixa superior.
ESoma a área de duas faixas inteiras, ignorando que só parte de cada faixa é branca.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Frações, decimais e operações básicas.

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Questão 1 no caderno Nível 2 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 2. Prova oficial ↗