Questão 2 (Nível 3) da OBMEP 2015

Question

Na reta abaixo, a distância entre dois pontos consecutivos é sempre a mesma. Qual é o valor dessa distância?

Reta horizontal com oito pontos igualmente espaçados. Da esquerda para a direita, o segundo ponto é rotulado como x, o terceiro ponto como x ao quadrado e o sexto ponto como 3x.

A
\dfrac{3}{4}
B
\dfrac{1}{4}
C
\dfrac{2}{3}
D
\dfrac{2}{5}
E
1

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 3) da OBMEP 2015

Nível 3 · Matemática: Equação do 2º grau

Na reta abaixo, a distância entre dois pontos consecutivos é sempre a mesma. Qual é o valor dessa distância?

Reta horizontal com oito pontos igualmente espaçados. Da esquerda para a direita, o segundo ponto é rotulado como x, o terceiro ponto como x ao quadrado e o sexto ponto como 3x.

A
\dfrac{3}{4}
B
\dfrac{1}{4}
C
\dfrac{2}{3}
D
\dfrac{2}{5}
E
1

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Resolução comentada

Numere os pontos de 1 a 8, da esquerda para a direita. Pela figura, x está no ponto 2, x^2 no ponto 3 e 3x no ponto 6.

Seja d a distância entre pontos consecutivos. Pontos igualmente espaçados formam uma progressão aritmética, então a diferença entre dois rótulos é d vezes o número de intervalos entre eles.

Do ponto 2 ao ponto 3 há 1 intervalo: x^2 - x = d.
Do ponto 3 ao ponto 6 há 3 intervalos: 3x - x^2 = 3d.

Substituindo d = x^2 - x na segunda equação:

3x - x^2 = 3(x^2 - x)

3x - x^2 = 3x^2 - 3x

6x = 4x^2

4x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2x(2x - 3) = 0

Assim, x = 0 ou x = \dfrac{3}{2}.

Se x = 0, então x^2 = 0 e os dois pontos coincidiriam, o que não pode acontecer. Logo x = \dfrac{3}{2}.

Calculando a distância:

d = x^2 - x = \frac{9}{4} - \frac{3}{2} = \frac{9}{4} - \frac{6}{4} = \frac{3}{4}

Conferindo: os pontos 2, 3 e 6 ficam em 1{,}5, 2{,}25 e 4{,}5. De 2{,}25 a 4{,}5 a diferença é 2{,}25 = 3\cdot 0{,}75. Confere.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão corresponde a nenhuma solução do sistema; com d=\frac{1}{4} os rótulos não ficam consistentes.
CValor sem relação com x=\frac{3}{2}; não satisfaz 3x-x^2=3d.
DResulta de contar errado o número de intervalos entre os pontos.
EValor sem relação com x=\frac{3}{2}; não satisfaz as duas equações.

Assunto: Equação do 2º grau.

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Questão 2 no caderno Nível 3 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 3. Prova oficial ↗