Questão 15 (Nível 1) da OBMEP 2015

Question

As contas AB \times C = 195 e CDE \div F = 88 estão corretas, sendo A, B, C, D, E e F algarismos diferentes. O número AB é formado pelos algarismos A e B, e o número CDE é formado pelos algarismos C, D e E. Qual é o algarismo representado pela letra F?

Diagrama em formato de cruz com duas operações matemáticas que se cruzam na letra C: na coluna vertical, disposta de cima para baixo, lê-se A, B, ×, C, =, 1, 9, 5; na linha horizontal, disposta da esquerda para a direita a partir de C, lê-se C, D, E, ÷, F, =, 8, 8.

A
1
B
2
C
4
D
6
E
8

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 1) da OBMEP 2015

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

As contas AB \times C = 195 e CDE \div F = 88 estão corretas, sendo A, B, C, D, E e F algarismos diferentes. O número AB é formado pelos algarismos A e B, e o número CDE é formado pelos algarismos C, D e E. Qual é o algarismo representado pela letra F?

Diagrama em formato de cruz com duas operações matemáticas que se cruzam na letra C: na coluna vertical, disposta de cima para baixo, lê-se A, B, ×, C, =, 1, 9, 5; na linha horizontal, disposta da esquerda para a direita a partir de C, lê-se C, D, E, ÷, F, =, 8, 8.

A
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B
2
C
4
D
6
E
8

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Solução oficial da OBMEP

Primeiramente, decompomos 195 em fatores primos e obtemos: 195 = 3 \times 5 \times 13. Só há, então, duas possibilidades para o algarismo C: ou C = 3 ou C = 5.

Se C = 3, então AB = 65, donde A = 6 e B = 5. Como \text{CDE} \div F = 88, temos que 3\text{DE} = 88 \times F. A única possibilidade é F = 4, pois outros valores, quando multiplicados por 88 não produzem números entre 300 e 399. Assim, F = 4 e então D = 5 e E = 2, pois 352 = 4 \times 88. Esta solução não serve porque B = D = 5 e o enunciado diz que os algarismos devem ser diferentes.

Logo C = 5, A = 3 e B = 9, pois 39 \times 5 = 195. Como 5\text{DE} = F \times 88, vemos que F = 6, já que 6 \times 88 = 528 e não há outra possibilidade de se obter cinco centenas multiplicando-se um número de um só algarismo por 88. Portanto, D = 2 e E = 8 e a resposta é a alternativa D.

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Resolução comentada

Primeiro, AB \times C = 195, com C algarismo. Como 195 = 3 \times 5 \times 13, C é um divisor de 195 de um algarismo, e AB tem dois algarismos.

C=1: AB=195, que tem três algarismos. Não serve.
C=3: AB=65. Os algarismos 6,5,3 são diferentes. Serve.
C=5: AB=39. Os algarismos 3,9,5 são diferentes. Serve.

Agora usamos CDE \div F = 88, ou seja, CDE = 88 \times F.

Com C=3, CDE está entre 300 e 399. Os múltiplos de 88 nessa faixa são 352 (F=4) e 440 (fora da faixa). Então 352 com F=4. Mas aqui C=3 e E=2, D=5; porém AB=65 usa o 5, repetindo o algarismo D=5. Não serve.

Com C=5, CDE está entre 500 e 599. O múltiplo de 88 nessa faixa é 528 = 88 \times 6, com F=6. Então D=2, E=8.

Conferindo os algarismos: A=3, B=9, C=5, D=2, E=8, F=6. Todos são diferentes.

Portanto F=6.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana: 352 = 88\times4 funciona com C=3, mas repete o algarismo 5 de AB=65.

Por que as outras alternativas estão erradas

ADaria CDE=88, que não tem três algarismos.
BDaria CDE=176, mas C teria de ser 1, e AB=195 não tem dois algarismos.
CDaria 352 com C=3, mas então AB=65 repete o algarismo 5.
EDaria CDE=704, e C=7 não divide 195.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Sistemas de numeração.

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Questão 15 no caderno Nível 1 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 1. Prova oficial ↗