Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2015

Question

Com retângulos iguais, quadrados iguais e triângulos isósceles iguais, foram montadas três figuras.

O contorno da Figura 1 mede 200 cm e o da Figura 2 mede 234 cm. Quanto mede o contorno da Figura 3?

A
244 cm
B
300 cm
C
332 cm
D
334 cm
E
468 cm

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2015

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Com retângulos iguais, quadrados iguais e triângulos isósceles iguais, foram montadas três figuras.

O contorno da Figura 1 mede 200 cm e o da Figura 2 mede 234 cm. Quanto mede o contorno da Figura 3?

A
244 cm
B
300 cm
C
332 cm
D
334 cm
E
468 cm

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Segue da Figura 2 que o lado maior do triângulo isósceles mede 234 \div 3 = 78\text{ cm}. O perímetro da Figura 3 é igual a duas vezes o perímetro da Figura 1, menos duas vezes o comprimento do segmento vertical tracejado do meio da Figura 3 (pois a Figura 3 é obtida juntando-se duas cópias da Figura 1, sem sobreposição). Este segmento tracejado mede o mesmo que o lado maior do triângulo isósceles, como mostra a Figura 1. Logo, o contorno da Figura 3 mede 2 \times 200 - 2 \times 78 = 244\text{ cm}.

[Figura: Três ilustrações identificadas como "Figura 1", "Figura 2" e "Figura 3". A Figura 1 mostra um triângulo isósceles azul sobreposto a uma base retangular dividida em três partes (verde nas laterais e rosa no meio). A Figura 2 mostra três triângulos isósceles azuis unidos pelas suas bases maiores para formar um triângulo equilátero maior. A Figura 3 mostra um polígono simétrico formado pela junção de duas cópias da Figura 1, com regiões em azul, verde e rosa delimitadas por linhas tracejadas.]

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Resolução comentada

Sejam q o lado do quadrado, r o comprimento do retângulo (a outra medida dele é q), b a base do triângulo isósceles e l cada um dos seus lados iguais.

Figura 2: três triângulos iguais com o vértice comum no centro formam 360^\circ ao redor desse ponto, então cada ângulo central mede 120^\circ. O contorno é formado pelas três bases, logo 3b = 234 e b = 78 cm.

Figura 1: a base do triângulo coincide com a largura da figura, então b = 2q + r = 78. O contorno é formado pela base b, os dois lados verticais q e os dois lados l do triângulo:

b + 2q + 2l = 200 \Rightarrow 78 + 2q + 2l = 200 \Rightarrow q + l = 61.

Figura 3: o lado vertical do triângulo de cada lado vale q + r + q = 2q + r = b, o que é consistente. O contorno do hexágono é formado por:

o lado de cima, com dois quadrados, medindo 2q;
o lado de baixo, também 2q;
quatro lados oblíquos, cada um igual a l.

P = 2q + 2q + 4l = 4(q + l) = 4 \cdot 61 = 244\ \text{cm}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem relação com 4(q+l); não decorre das medidas obtidas.
CNão corresponde ao perímetro 4(q+l); erro ao somar os segmentos do contorno.
DTambém não vem de 4(q+l); provavelmente inclui medidas internas ou conta errada.
EValor igual a 2\cdot 234, sem justificativa geométrica; ignora que os lados oblíquos medem l.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 14 no caderno Nível 2 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 2. Prova oficial ↗