Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2015

Question

Os 1641 alunos de uma escola devem ser distribuídos em salas de aula para a prova da OBMEP. As capacidades das salas disponíveis e suas respectivas quantidades estão informadas na tabela abaixo:

Capacidade máxima de cada sala	Quantidade de salas disponíveis
30 alunos	30
40 alunos	12
50 alunos	7
55 alunos	4

Qual é a quantidade mínima de salas que devem ser utilizadas para essa prova?

A
41
B
43
C
44
D
45
E
47

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2015

Nível 1 · Matemática: Tabelas e distribuição de frequências

Os 1641 alunos de uma escola devem ser distribuídos em salas de aula para a prova da OBMEP. As capacidades das salas disponíveis e suas respectivas quantidades estão informadas na tabela abaixo:

Capacidade máxima de cada sala	Quantidade de salas disponíveis
30 alunos	30
40 alunos	12
50 alunos	7
55 alunos	4

Qual é a quantidade mínima de salas que devem ser utilizadas para essa prova?

A
41
B
43
C
44
D
45
E
47

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Para minimizar o número de salas, devemos, primeiramente, utilizar todas as salas que comportam o maior número de alunos, ou seja, as 4 salas com capacidade de 55 alunos, a seguir, utilizar as salas que comportam 50 alunos, depois as salas para 40 alunos e finalmente tantas salas para 30 alunos quantas forem necessárias para que, ao todo, todos os 1641 alunos sejam distribuídos. Observe:

4 \times 55 = 220

7 \times 50 = 350

12 \times 40 = 480

Como 1641 - (220 + 350 + 480) = 1641 - 1050 = 591, precisaremos colocar esses 591 alunos nas salas que comportam 30 alunos cada. Mas 591 dividido por 30 tem como quociente 19 e resto 21. Logo, necessitaremos de 19 + 1 = 20 salas com 30 alunos para acomodar os alunos que não foram alocados nas salas com maior capacidade. Assim, no total, deveremos utilizar 4 + 7 + 12 + 20 = 43 salas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Para usar o mínimo de salas, comece pelas maiores, pois cada uma acomoda mais alunos.

Quatro salas de 55: 4\times 55 = 220 alunos.
Sete salas de 50: 7\times 50 = 350 alunos.
Doze salas de 40: 12\times 40 = 480 alunos.

Somando: 220+350+480 = 1050 alunos acomodados em 4+7+12 = 23 salas.

Faltam 1641-1050 = 591 alunos, que vão para as salas de 30.

Dividindo: 591 \div 30 = 19{,}7, então são necessárias 20 salas de 30 (19 salas comportam só 570, e sobrariam 21 alunos). Há 30 salas disponíveis, então 20 é possível.

Total de salas: 23+20 = 43.

Conferindo: 43 salas comportam 1050+600=1650 \ge 1641, e com 42 salas a capacidade seria 1050+570=1620 < 1641, insuficiente. Logo, 43 é o mínimo.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACom 41 salas a capacidade máxima seria 1050+540=1590, menor que 1641.
CUsa uma sala a mais do que o necessário; 43 salas já bastam.
DExcede o mínimo em duas salas, provavelmente por não aproveitar as salas maiores ao máximo.
EValor muito alto, que não corresponde à distribuição que usa todas as salas maiores.

Assunto: Tabelas e distribuição de frequências.

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Questão 13 no caderno Nível 1 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 1. Prova oficial ↗