Questão 5 (Nível 1) da OBMEP 2014

Question

Na figura, o número 7 ocupa a casa central. É possível colocar os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9, um em cada uma das casas restantes, de modo que a soma dos números na horizontal seja igual à soma dos números na vertical. Qual é essa soma?

Diagrama em formato de cruz com quadrados conectados por segmentos de reta. Há uma linha horizontal com cinco quadrados, dos quais o central contém o número 7 e os demais estão vazios. Acima do quadrado central há dois quadrados vazios alinhados verticalmente, e abaixo dele há o início de um segmento vertical.

A
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B
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D
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Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 1) da OBMEP 2014

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Na figura, o número 7 ocupa a casa central. É possível colocar os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9, um em cada uma das casas restantes, de modo que a soma dos números na horizontal seja igual à soma dos números na vertical. Qual é essa soma?

Diagrama em formato de cruz com quadrados conectados por segmentos de reta. Há uma linha horizontal com cinco quadrados, dos quais o central contém o número 7 e os demais estão vazios. Acima do quadrado central há dois quadrados vazios alinhados verticalmente, e abaixo dele há o início de um segmento vertical.

A
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B
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C
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E
26

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observando que o 7 está na horizontal e também na vertical, a soma pedida é igual à metade da soma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 9 + 7 + 7 = 52. Logo, o resultado é 52 \div 2 = 26. Portanto, devemos separar os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 em dois grupos que somam 19 = 26 - 7 cada um. É possível preencher as casas de muitos modos diferentes, aqui estão dois deles:

[Figura: dois esquemas em forma de cruz formados por nove quadradinhos conectados. No primeiro esquema, a coluna vertical contém, de cima para baixo, os números 9, 1, 7, 3 e 6; a linha horizontal contém, da esquerda para a direita, os números 4, 5, 7, 8 e 2, cruzando-se no número 7 central. No segundo esquema, a coluna vertical contém, de cima para baixo, os números 9, 4, 7, 5 e 6; a linha horizontal contém, da esquerda para a direita, os números 6, 8, 7, 3 e 2, cruzando-se no número 7 central.]

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Resolução comentada

A figura tem uma linha horizontal de 5 casas (a do meio é o 7) e uma coluna vertical que parece ter 5 casas, mas só aparecem 3 desenhadas: duas acima do 7 e, abaixo, um segmento que leva a uma casa. Os números disponíveis são 8 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9) mais o 7, ou seja, 9 casas no total. A cruz tem então 5 casas na horizontal e 5 na vertical, compartilhando o 7 central: 5+5-1=9 casas. Assim cabem exatamente os 9 números.

Seja S a soma de cada linha. Somando a horizontal e a vertical, o 7 é contado duas vezes:

Soma de todos os números: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.
Horizontal + vertical =45+7=52, pois o 7 entra nas duas somas.
Como as duas somas são iguais: 2S=52.
Logo S=26.

É possível montar: horizontal 9, 1, 7, 3, 6 soma 26; vertical (sem o 7) com 2, 4, 5, 8 soma 19, e 19+7=26. Confere.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a conta; não satisfaz 2S=45+7.
BResulta de erro de conta, como dividir 45 por 2 e arredondar; não satisfaz 2S=52.
CIgnora que o 7 é contado duas vezes e usa um total incorreto.
DTambém não satisfaz 2S=52; vem de somar mal os números.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 5 no caderno Nível 1 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 1. Prova oficial ↗