Questão 2 (Nível 3) da OBMEP 2014

Resolução comentada

Pela figura, 0 < x < y < 1. Ou seja, os dois números são positivos e menores que 1.

Vamos comparar o produto xy com cada um dos três pontos de referência, 0, x e y.

1. Comparação com 0: como x>0 e y>0, o produto de dois positivos é positivo, então xy>0.

2. Comparação com x: como y<1 e x>0, multiplicamos os dois lados de y<1 por x (positivo, então o sentido da desigualdade não muda):
   

   xy < x\cdot 1 = x

Logo, 0 < xy < x.

Para conferir com números, tome x=0{,}3 e y=0{,}7: xy = 0{,}21, que está entre 0 e 0{,}3. Isso ilustra a ideia: multiplicar um número positivo por outro menor que 1 "encolhe" o primeiro, e o resultado fica menor que ele.

Portanto, xy está entre 0 e x.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AO produto de dois números positivos é positivo, então não fica à esquerda de 0.
• CComo y<1, temos xy<x, então o produto não chega a ficar entre x e y.
• DSupõe que o produto seria maior que y, mas multiplicar por um número menor que 1 diminui o valor.
• ESó ocorreria se algum fator fosse maior que 1; aqui ambos são menores que 1.

Assunto: Frações, decimais e operações básicas.

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