Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2014

Resolução comentada

Seja o número 10a+b e o invertido 10b+a. Queremos (10a+b)(10b+a)=2944.

Vamos fatorar: 2944 = 2^7\cdot 23 = 128\cdot 23.

Como os dois fatores têm dois algarismos (entre 10 e 99), procuramos divisores de 2944 nessa faixa: 16, 23, 32, 46, 64, 92.

Os pares com produto 2944 são:

1. 32\cdot 92 = 2944 ✔
2. 46\cdot 64 = 2944 ✔
3. 16\cdot 184 não serve, pois 184 tem três algarismos.

O par que tem algarismos invertidos é 32 e 92? Não: o inverso de 32 é 23, e não 92. Já 46 e 64 são inversos um do outro, pois 46 invertido é 64.

Conferindo: 46\cdot 64 = 46\cdot 60 + 46\cdot 4 = 2760+184 = 2944 ✔.

A soma dos números é:

Alternativa B.

Pegadinha: Os números 32 e 92 também têm produto 2944, mas não são inversos um do outro; é preciso checar a inversão dos algarismos.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A99 não corresponde à soma de nenhum par de números invertidos com produto 2944.
• C121 não é a soma do par correto; não vem de nenhum par de inversos com esse produto.
• D143 não resulta da soma de dois números invertidos cujo produto seja 2944.
• E154 não é a soma do par correto; seria 32+92=124 de qualquer forma, e esse par nem é de inversos.

Assunto: Sistemas de numeração.

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