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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 1) da OBMEP 2014

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Talia tem um cubo mágico; toda vez que ela toca um vértice desse cubo, as três faces que se encontram nesse vértice mudam de branco para cinza ou de cinza para branco. Começando com o cubo totalmente branco, ela tocou o vértice A e as três faces ABCD, ABFE e ADHE mudaram de branco para cinza, como na figura. Ela continuou tocando todos os outros vértices uma única vez. Quantas faces do cubo terminaram brancas?

Figura mostrando dois cubos com vértices A, B, C, D na face superior e E, F, G, H na face inferior. À esquerda, o cubo é totalmente branco. Uma seta aponta para o cubo da direita, onde uma varinha mágica toca o vértice A (destacado em amarelo) e as três faces que concorrem em A (ABCD, ABFE e ADHE) estão pintadas de cinza.

  1. A
    0
  2. B
    1
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    6
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Cada face tem 4 vértices, e cada toque em um vértice da face inverte a cor dela. Como Talia toca todos os 8 vértices, uma vez cada, cada face é tocada exatamente 4 vezes (uma por vértice seu).

Veja o que acontece com a cor de uma face ao longo dos toques:

  1. 1º toque: branco → cinza.
  2. 2º toque: cinza → branco.
  3. 3º toque: branco → cinza.
  4. 4º toque: cinza → branco.

Como o número de toques (4) é par, a face volta à cor original, o branco. Isso vale para as 6 faces, inclusive as três que mudaram no primeiro toque (em A): elas ainda recebem mais 3 toques, nos outros três vértices delas, e terminam com 4 inversões no total.

Logo, todas as 6 faces terminam brancas.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASupõe que todas as faces terminam cinza, ignorando que 4 inversões (número par) devolvem o branco.
  • BNão corresponde a nenhuma contagem correta; cada face é tocada 4 vezes, não há face diferente das demais.
  • CConsidera só as 3 faces que não mudaram no primeiro toque, esquecendo que as outras 3 também voltam ao branco.
  • DSem base: todas as faces recebem o mesmo número de toques, então o resultado é igual para todas.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Ver como caiu na prova Questão 11 no caderno Nível 1 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 1. Prova oficial ↗