Questão 2 (Nível 3) da OBMEP 2013

Question

Quantos sinais de adição foram utilizados na expressão

2 + 0 + 1 + 3 + 2 + 0 + 1 + 3 + 2 + 0 + 1 + 3 + \dots + 2 + 0 + 1 = 2013\ ?

A
503
B
1342
C
2012
D
2013
E
2016

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 3) da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Sequências e padrões

Quantos sinais de adição foram utilizados na expressão

2 + 0 + 1 + 3 + 2 + 0 + 1 + 3 + 2 + 0 + 1 + 3 + \dots + 2 + 0 + 1 = 2013\ ?

A
503
B
1342
C
2012
D
2013
E
2016

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Resolução comentada

A expressão repete o bloco 2, 0, 1, 3, que soma 2+0+1+3=6, e termina em 2+0+1, ou seja, o último bloco fica incompleto, sem o 3.

Seja k o número de blocos completos. A soma total é

6k + (2+0+1) = 6k + 3 = 2013.

Logo:

6k = 2010
k = 335

Temos então 335 blocos completos, com 4 números cada, mais o bloco final com 3 números (2, 0 e 1).

Quantidade de parcelas:

335 \cdot 4 + 3 = 1340 + 3 = 1343.

Em uma soma, o número de sinais de adição é uma unidade menor que o número de parcelas, pois cada sinal fica entre duas parcelas vizinhas:

1343 - 1 = 1342.

Verificação: 335\cdot 6 = 2010, mais 3 dá 2013. Confere.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa B só aparece depois de lembrar que o número de sinais é o de parcelas menos 1; quem para em 1343 erra, embora 1343 nem seja opção.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConfunde com o número de blocos (cerca de 503 viria de 2013/4), sem relação com a soma pedida.
CSubtrai 1 do total 2013, tratando a soma 2013 como se fosse a quantidade de parcelas.
DUsa o valor da soma como número de sinais, sem calcular quantas parcelas há.
ENão corresponde a nenhuma contagem válida; ignora que a soma de cada bloco é 6.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 2 no caderno Nível 3 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗