Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2013

Resolução comentada

Chame o preço de cada livro de \overline{ab},93 e o total de 3c2,7d. O total é 18 vezes o preço.

O preço tem a forma x + 0{,}93, com x inteiro de dois algarismos.

1. Os centavos: 18 \times 0{,}93 = 16{,}74. Os centavos do total terminam em 74, então o algarismo d é 4. O total é 3c2{,}74.

2. A parte inteira do total é 18x + 16. Ela deve ser 3c2, entre 302 e 392.

3. Então 18x + 16 = 3c2 e 18x = 3c2 - 16. Como 18x é par, o número 3c2 - 16 também é par. Precisa ser múltiplo de 18, ou seja, múltiplo de 9.

4. O número 3c2 - 16 = 300 + 10c + 2 - 16 = 286 + 10c. A soma dos algarismos de 286+10c deve ser múltipla de 9. Testando: c=0 dá 286 (soma 16), c=1 dá 296 (soma 17), c=2 dá 306 (soma 9, serve). Então x = 306/18 = 17.

5. Conferindo: 18 \times 17{,}93 = 322{,}74. O total é 322{,}74, com c=2.

Os algarismos borrados são 1, 7, 2 e 4. Soma: 1+7+2+4 = 14.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASoma errada dos algarismos, resultado de um preço ou total incorreto.
• BSoma errada dos algarismos, resultado de um preço ou total incorreto.
• CSoma errada, provavelmente por erro nos centavos ou no preço.
• DSoma errada, provavelmente por esquecer um algarismo ou errar o preço.

Assuntos: Frações, decimais e operações básicas, Sistemas de numeração.

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