Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2013

Resolução comentada

As faces têm cores diferentes, então cada face é distinguível das outras. Assim, não há rotações a descontar: duas numerações diferentes contam como maneiras diferentes.

A condição é que faces opostas somem 7. Os pares possíveis de números são (1,6), (2,5) e (3,4). O cubo tem 3 pares de faces opostas, e cada par de faces recebe um desses pares de números.

1. Escolher qual par de números vai em qual par de faces: 3! = 6 maneiras. Por exemplo, o par azul/oposta pode receber (1,6), (2,5) ou (3,4), e assim por diante.
2. Dentro de cada par de faces, decidir qual número fica em cada face. São 2 possibilidades por par, ou seja, 2\cdot2\cdot2 = 8 maneiras.

Pelo princípio multiplicativo:

Outra forma de ver: a face azul pode receber qualquer um dos 6 números. A oposta fica determinada (7 menos o número). A face laranja recebe um dos 4 restantes, e sua oposta fica determinada. A face cinza recebe um dos 2 restantes, e sua oposta fica determinada. Total: 6\cdot4\cdot2=48.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Aconta só as 3! formas de distribuir os pares e esquece as 2 ordens dentro de cada par.
• Bobtém 4!, sem justificativa; não segue a escolha 6·4·2 das faces.
• Dé 5!, que ignora a restrição de soma 7 entre faces opostas.
• Eé 6!, todas as numerações, sem impor a condição das faces opostas.

Assunto: Permutações.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.