Questão 5 (Nível 1) da OBMEP 2012

Question

As ruas de Quixajuba formam uma malha de retângulos iguais. A figura mostra, em parte do mapa de Quixajuba, os caminhos percorridos por Alfredo, Bela e Cecília de suas casas até a praia. Nesses caminhos Alfredo e Bela percorrem, respectivamente, 290 e 230 metros. Qual é a distância, em metros, que Cecília percorre?

Caminhos de Alfredo, Bela e Cecília em uma malha pontilhada formada por retângulos iguais em direção à praia. O trajeto de Alfredo possui 4 trechos horizontais e 4 verticais; o de Bela, 4 trechos horizontais e 1 vertical; o de Cecília, 4 trechos horizontais e 2 verticais.

A
220
B
230
C
240
D
250
E
260

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 1) da OBMEP 2012

Nível 1 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

As ruas de Quixajuba formam uma malha de retângulos iguais. A figura mostra, em parte do mapa de Quixajuba, os caminhos percorridos por Alfredo, Bela e Cecília de suas casas até a praia. Nesses caminhos Alfredo e Bela percorrem, respectivamente, 290 e 230 metros. Qual é a distância, em metros, que Cecília percorre?

Caminhos de Alfredo, Bela e Cecília em uma malha pontilhada formada por retângulos iguais em direção à praia. O trajeto de Alfredo possui 4 trechos horizontais e 4 verticais; o de Bela, 4 trechos horizontais e 1 vertical; o de Cecília, 4 trechos horizontais e 2 verticais.

A
220
B
230
C
240
D
250
E
260

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Os caminhos de Alfredo, Bela e Cecília consistem de segmentos horizontais, todos de mesmo comprimento, e verticais, também todos de mesmo comprimento. Todos percorreram o mesmo número de segmentos horizontais. Alfredo percorreu dois segmentos verticais e 290 - 230 = 60 metros a mais do que Bela; logo, cada segmento vertical equivale a 60 \div 2 = 30 metros. Como o caminho de Bela tem apenas um segmento vertical, o comprimento total dos segmentos horizontais é 230 - 30 = 200 metros. Finalmente, o caminho de Cecília tem dois segmentos verticais; ela percorreu então 200 + 2 \times 30 = 260 metros até a praia.

[Figura: Malha quadriculada ilustrando os percursos de Alfredo, Bela e Cecília partindo da esquerda em direção a uma praia com sol e mar à direita, com segmentos verticais e horizontais demarcando cada trajeto.]

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Resolução comentada

Cada retângulo da malha tem largura a (trecho horizontal) e altura b (trecho vertical). Os dois caminhos percorrem trechos de comprimentos iguais a a ou b, então basta contar quantos trechos de cada tipo existem.

Pela figura, todos os caminhos atravessam 4 colunas, ou seja, têm 4a na horizontal.

Alfredo: desce 1, sobe 1 e desce 1, num total de 3 trechos verticais (a figura indica o caminho com 3 degraus). Distância: 4a + 3b = 290.
Bela: sobe 1 trecho vertical. Distância: 4a + b = 230.
Cecília: sobe 1 e desce 1, num total de 2 trechos verticais. Distância: 4a + 2b.

Passos:

Subtraindo as duas equações: (4a+3b)-(4a+b)=290-230, então 2b=60 e b=30.
Em 4a+b=230: 4a=200, logo a=50.
Cecília: 4a+2b = 200+60 = 260.

Conferindo Alfredo: 200+90=290, confere.

Cecília percorre 260 m.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor menor que o de Bela (230) com mais trechos verticais; não faz sentido, pois Cecília anda mais que Bela.
BRepete a distância de Bela, ignorando que Cecília tem um trecho vertical a mais.
CSoma só mais 10 m a Bela, sem calcular o valor correto de b=30.
DSoma 20 m a Bela, em vez de acrescentar um trecho vertical de 30 m.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 5 no caderno Nível 1 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 1. Prova oficial ↗