Questão 2 (Nível 1) da OBMEP 2012

Question

Renata montou uma sequência de triângulos com palitos de fósforo, seguindo o padrão indicado na figura. Quantos palitos ela vai usar para construir o quinto triângulo da sequência?

Sequência de triângulos de palitos de fósforo: o 1º com um triângulo, o 2º com três triângulos e o 3º com seis triângulos

A
36
B
39
C
42
D
45
E
48

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 1) da OBMEP 2012

Nível 1 · Matemática: Sequências e padrões

Renata montou uma sequência de triângulos com palitos de fósforo, seguindo o padrão indicado na figura. Quantos palitos ela vai usar para construir o quinto triângulo da sequência?

Sequência de triângulos de palitos de fósforo: o 1º com um triângulo, o 2º com três triângulos e o 3º com seis triângulos

A
36
B
39
C
42
D
45
E
48

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observamos que o segundo triângulo da sequência consiste de 1+2=3 cópias do primeiro triângulo e o terceiro triângulo consiste de 1+2+3=6 cópias do primeiro triângulo. De acordo com esse padrão, o quinto triângulo da sequência será formado por 1+2+3+4+5=15 cópias do primeiro triângulo. Como o primeiro triângulo da sequência é formado por 3 palitos, segue que Renata vai gastar 15 \times 3 = 45 palitos para construir o quinto triângulo da sequência.

[Figura: Três ilustrações formadas por palitos de fósforo identificadas como 1º, 2º e 3º. O 1º é um triângulo formado por 3 palitos pretos. O 2º tem um triângulo preto no topo e dois triângulos vermelhos na base. O 3º tem um triângulo preto no topo, dois triângulos pretos na camada intermediária e três triângulos vermelhos na base.]

Pode-se também observar que o primeiro triângulo é formado por 3 palitos, o segundo por 3+6=9 palitos e terceiro por 3+6+9=18 palitos. Seguindo esse padrão, o quinto triângulo será formado por 3+6+9+12+15=45 palitos.

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Resolução comentada

Cada figura nova é a anterior com mais uma fileira de triângulos embaixo. O 1º tem 1 triângulo, o 2º tem 1 + 2 = 3, o 3º tem 1 + 2 + 3 = 6. Logo, o 5º terá 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 triângulos pequenos.

A figura mostra que, ao acrescentar uma fileira, os triângulos novos (em vermelho) são desenhados com palitos próprios, sem dividir palitos com os de baixo. Cada triângulo da fileira nova usa 3 palitos. Na verdade, na figura os triângulos de baixo são desenhados completos, e os de cima se encaixam neles (o triângulo de cima do 2º usa só 3 palitos, mas aproveita os vértices dos de baixo). Vamos contar pela figura:

1º: 1 triângulo, 3 palitos.
2º: 3 triângulos, e o padrão mostra que cada triângulo pequeno usa 3 palitos próprios, ou seja, 3 · 3 = 9 palitos.
3º: 6 triângulos, 6 · 3 = 18 palitos.

Na figura, os triângulos estão encostados só pelos vértices ou pela base, e cada um aparece com seus 3 palitos desenhados. Portanto o número de palitos é 3 vezes o número de triângulos.

Para o 5º:

3 \cdot 15 = 45

Vão ser usados 45 palitos.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa 12 triângulos em vez de 15, errando a soma 1+2+3+4+5.
BUsa 13 triângulos, resultado de uma contagem errada da sequência.
CUsa 14 triângulos, errando a soma das fileiras.
EUsa 16 triângulos, contando fileiras a mais.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 2 no caderno Nível 1 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 1. Prova oficial ↗