Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2012

Resolução comentada

Chame de C, S e V o número inicial de crianças na cozinha, na sala e na varanda, e de n a quantidade final em cada cômodo (as três são iguais).\n\nComo as crianças correram ao mesmo tempo, o saldo de cada cômodo é:\n\n1. Cozinha: C + 7 - 5 = n, logo C = n-2.\n2. Sala: S + 5 - 4 = n, logo S = n-1.\n3. Varanda: V + 4 - 7 = n, logo V = n+3.\n\nO total de crianças é C+S+V = 3n. Falta achar o menor n possível.\n\nPara que a correria aconteça, cada cômodo precisava ter, no início, ao menos as crianças que saíram dele:\n\n- Varanda: n+3 \ge 7 \Rightarrow n \ge 4.\n- Cozinha: n-2 \ge 5 \Rightarrow n \ge 7.\n- Sala: n-1 \ge 4 \Rightarrow n \ge 5.\n\nA condição mais forte é n \ge 7. Com n=7, o início era 5 na cozinha, 6 na sala e 10 na varanda. Verificando o final: cozinha 5+7-5=7, sala 6+5-4=7, varanda 10+4-7=7.\n\nTotal mínimo: 3\cdot 7 = 21 crianças.\n\nAlternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACorresponde a n=6, que daria só 4 crianças na cozinha, menos que as 5 que saíram dela.
• BNão corresponde a um valor possível, pois o total deve ser múltiplo de 3 (3n).
• CTambém não é múltiplo de 3, então não pode ser o total com quantidades finais iguais.
• ECorresponde a n=8, que é possível, mas não é o mínimo.

Assuntos: Equações do 1º grau e problemas, Inequações e desigualdades.

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