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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da OBMEP 2011

Nível 1 · Matemática: Permutações

Gabriel comprou uma rosa, um cravo e um lírio e quer dar uma flor para cada uma de suas três amigas. Ele sabe que uma amiga não gosta de cravos, outra não gosta de lírios e a terceira não gosta de rosas. De quantas maneiras ele pode distribuir as flores de modo a agradar às três amigas?

Ilustração de um menino em dúvida, com um ponto de interrogação sobre a cabeça, segurando uma rosa em uma das mãos e um lírio e um cravo na outra.

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    6
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Chame as amigas de A, B e C: A não gosta de cravo, B não gosta de lírio e C não gosta de rosa. Cada amiga deve receber uma flor que ela aceite, e as três flores são diferentes.

O total de maneiras de distribuir 3 flores a 3 amigas é 3! = 6. Mas só interessam aquelas em que ninguém recebe a flor de que não gosta.

  1. A aceita rosa ou lírio (não aceita cravo).
  2. B aceita rosa ou cravo (não aceita lírio).
  3. C aceita cravo ou lírio (não aceita rosa).

Vamos testar as possibilidades para A:

  • Se A recebe rosa: B só pode ficar com cravo, e C fica com lírio. C aceita lírio, então funciona. (A-rosa, B-cravo, C-lírio)
  • Se A recebe lírio: C só pode ficar com cravo (não aceita rosa, e o lírio já foi). Sobra a rosa para B, que aceita rosa. Funciona. (A-lírio, B-rosa, C-cravo)

Não há outras possibilidades, pois A só tem duas opções e cada uma leva a uma única distribuição completa.

Portanto, existem 2 maneiras de agradar às três amigas.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera só uma das duas distribuições válidas, esquecendo a outra.
  • CNão tem base na contagem; só duas distribuições respeitam as três restrições.
  • DConta distribuições em que alguma amiga recebe a flor de que não gosta.
  • EÉ o total 3! de distribuições, sem aplicar as restrições.

Assunto: Permutações.

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Ver como caiu na prova Questão 3 no caderno Nível 1 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 1. Prova oficial ↗