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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2011

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Uma aranha encontra-se no ponto A de sua teia e quer chegar ao ponto B sem passar mais de uma vez por um mesmo segmento da teia. Além disso, ao percorrer um segmento radial (em traço mais fino), ela deve seguir o sentido indicado pela flecha. Quantos são os caminhos possíveis?

Figura de uma teia formada por três pentágonos regulares concêntricos em traço grosso, com o ponto B no centro comum e o ponto A no vértice inferior esquerdo do pentágono externo. Cinco linhas radiais em traço fino ligam o centro B aos cinco vértices de cada pentágono, dividindo cada raio em três segmentos orientados por flechas: do pentágono externo para o intermediário, a flecha do topo aponta para dentro e as outras quatro apontam para fora; do pentágono intermediário para o interno, as duas flechas superiores laterais apontam para fora e as outras três (topo e duas inferiores) apontam para dentro; do pentágono interno para o ponto B, as duas flechas superiores laterais apontam para fora e as outras três (topo e duas inferiores) apontam para dentro.

  1. A
    2^3 \times 5
  2. B
    11^3 \times 5^2
  3. C
    5^3
  4. D
    11^3
  5. E
    2 \times 5^3
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Em cada pentágono, você precisa contar os percursos possíveis, e não apenas os vértices por onde a aranha pode sair. Pelas flechas da figura, os segmentos radiais são percorridos em direção ao centro; assim, depois de passar ao pentágono seguinte, ela não pode voltar ao anterior.

Ao chegar a um vértice de um pentágono, a aranha tem estas opções:

  • sair imediatamente pelo segmento radial, sem percorrer nenhum lado;
  • percorrer de 1 a 5 lados no sentido horário e então sair;
  • percorrer de 1 a 5 lados no sentido anti-horário e então sair.

Percorrer os cinco lados é permitido: ela retorna ao vértice de entrada, mas não repete nenhum segmento. Já mudar de sentido durante o percurso faria com que repetisse um lado.

Portanto, em cada pentágono, existem

1+5+5=11

possibilidades. Esse número é o mesmo qualquer que seja o vértice de entrada.

Como são três pentágonos, pelo princípio multiplicativo, o total de caminhos é

11\times11\times11=11^3=1331.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C confunde vértices de saída com caminhos: um mesmo vértice pode ser alcançado por percursos diferentes.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera apenas os dois sentidos em cada pentágono, sem contar as diferentes quantidades de lados percorridos.
  • BAcrescenta o fator 5^2, embora as escolhas dos vértices de saída já estejam incluídas nas 11 possibilidades.
  • CConta apenas os cinco vértices de saída de cada pentágono, ignorando os diferentes percursos até eles.
  • EUma única escolha entre dois sentidos não contempla os percursos independentes e as voltas completas em cada pentágono.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Princípio fundamental da contagem.

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Ver como caiu na prova Questão 20 no caderno Nível 3 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 3. Prova oficial ↗