Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2011

Question

Escreva os algarismos de 0 até 9 em uma linha, na ordem que você escolher. Na linha de baixo junte os vizinhos, formando nove números novos, e some esses números como no exemplo:

2		1		3		7		4		9		5		8		0		6
	21		13		37		74		49		95		58		80		06
21 + 13 + 37 + 74 + 49 + 95 + 58 + 80 + 6 = 433

Qual é a maior soma que é possível obter desse modo?

A
506
B
494
C
469
D
447
E
432

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2011

Nível 3 · Matemática: Sistemas de numeração

Escreva os algarismos de 0 até 9 em uma linha, na ordem que você escolher. Na linha de baixo junte os vizinhos, formando nove números novos, e some esses números como no exemplo:

2		1		3		7		4		9		5		8		0		6
	21		13		37		74		49		95		58		80		06
21 + 13 + 37 + 74 + 49 + 95 + 58 + 80 + 6 = 433

Qual é a maior soma que é possível obter desse modo?

A
506
B
494
C
469
D
447
E
432

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Para qualquer disposição dos algarismos, a soma dos vizinhos “juntados” terá sempre nove parcelas, sem repetição de algarismos nas unidades ou nas dezenas. O único algarismo que não aparece nas unidades é o primeiro e o único que não aparece nas dezenas é o último. Para que a soma seja máxima, o algarismo 0 não deve comparecer nas dezenas e, portanto, deve ser o último; além disso, o menor dos algarismos 1, 2,..., 9 não deve aparecer nas unidades e, portanto, o 1 deve ser o primeiro. Concluímos que a soma é máxima para qualquer escolha onde 1 é o primeiro algarismo e 0 o último. Nesse caso, a soma das unidades será 0 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44 e a soma das dezenas será 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 = 450 ; a soma máxima é então 450 + 44 = 494 .

Algebricamente, podemos escrever esse argumento como segue. Seja a_1, a_2, \text{K}, a_{10} uma disposição qualquer dos algarismos de 0 até 9 na primeira linha. Na linha de baixo da tabela aparecerão os números a_1 a_2, a_2 a_3, \text{K}, a_9 a_{10}. Usando a representação decimal, a soma desses números pode ser escrita na forma

\begin{aligned} S &= a_1 a_2 + a_2 a_3 + \text{L} + a_9 a_{10} = (10a_1 + a_2) + (10a_2 + a_3) + \ldots + (10a_9 + a_{10}) \\ &= 10 \times (a_1 + a_2 + \text{L} + a_9) + (a_2 + \text{L} + a_9 + a_{10}) \\ &= 10 \times (a_1 + a_2 + \text{L} + a_9 + a_{10}) - 10a_{10} + (a_1 + a_2 + \text{L} + a_9 + a_{10}) - a_1 \\ &= 11 \times (a_1 + a_2 + \text{L} + a_9 + a_{10}) - 10a_{10} - a_1 = 45 \cdot 11 - 10a_{10} - a_1 \\ &= 495 - 10a_{10} - a_1 \end{aligned}

Logo o valor de máximo de S é atingido quando a_{10} = 0 e a_1 = 1, como vimos.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Chame os algarismos, na ordem escolhida, de a_1, a_2, \dots, a_{10}. Cada par de vizinhos a_i a_{i+1} forma o número 10a_i + a_{i+1}.

Somando os nove números:

S = 10(a_1+\dots+a_9) + (a_2+\dots+a_{10})

Seja T = 0+1+\dots+9 = 45. Então a_1+\dots+a_9 = 45 - a_{10} e a_2+\dots+a_{10} = 45 - a_1. Logo:

S = 10(45 - a_{10}) + 45 - a_1 = 495 - 10a_{10} - a_1

Para S ser máxima, devemos minimizar 10a_{10} + a_1, com a_1 \ne a_{10} (algarismos distintos).

O último algarismo pesa mais (10 vezes), então escolhemos a_{10}=0.
O menor valor restante para a_1 é 1.

Assim 10\cdot 0 + 1 = 1 e:

S = 495 - 1 = 494

Conferindo com o exemplo do enunciado: a_1=2 e a_{10}=6 dão 495 - 60 - 2 = 433, o que bate.

Exemplo de arranjo que atinge o máximo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0, e a soma dá 494.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

APassa de 495 menos o mínimo possível; 506 excede o limite 495 da fórmula, então é impossível.
CNão corresponde a nenhum par possível de a_1 e a_{10} na fórmula 495-10a_{10}-a_1 com mínimo; é valor não ótimo.
DNão é o máximo; resulta de escolher extremos piores, como a_{10}=4 e a_1=8.
ENão é o máximo; corresponde a uma escolha pior dos extremos, como a_{10}=6 e a_1=3.

Assunto: Sistemas de numeração.

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Questão 19 no caderno Nível 3 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 3. Prova oficial ↗