Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2011

Resolução comentada

Cada garçom atende no máximo 10 convidados. Então, para cada garçom, podemos ter até 10 convidados, formando grupos de 1 + 10 = 11 pessoas (1 garçom e 10 convidados).

Para ter o máximo de convidados, precisamos de o mínimo de garçons, e o salão deve ficar cheio. Sejam g garçons e c convidados:

1. g + c = 700
2. c \leq 10g

Substituindo g = 700 - c na condição 2:

Como c é inteiro, c \leq 636.

Verificando: com c = 636, temos g = 700 - 636 = 64 garçons, que atendem no máximo 64 \cdot 10 = 640 \geq 636. Serve.

Com c = 637, teríamos g = 63, que atendem no máximo 630 < 637. Não serve.

Portanto, o máximo é 636 convidados.

Alternativa D.

Pegadinha: A conta dá 7000/11 \approx 636{,}36, e é preciso arredondar para baixo (636), pois 637 convidados deixariam alguém sem garçom.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem justificativa; não satisfaz o máximo, pois 636 convidados também é possível.
• BValor abaixo do máximo; é possível convidar mais pessoas mantendo a razão de 10 por garçom.
• CTambém abaixo do máximo possível; sobra capacidade de atendimento com 624 convidados.
• ECom 646 convidados restariam 54 garçons, que atendem só 540, insuficiente.

Assunto: Inequações e desigualdades.

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