Questão 17 (Nível 1) da OBMEP 2011

Question

Ao lado vemos uma velha bomba de gasolina que não mostra os algarismos em duas posições. Na situação da figura, qual é a soma desses dois algarismos?

Bomba de gasolina antiga mostrando o visor com três informações: TOTAL R$ 32,00; LITROS com os dígitos 2, um dígito apagado, vírgula e 6; PREÇO P/ LITRO R$ com os dígitos 1, vírgula, um dígito apagado e 5.

A
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B
3
C
4
D
6
E
7

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 1) da OBMEP 2011

Nível 1 · Matemática: Frações, decimais e operações básicas

Ao lado vemos uma velha bomba de gasolina que não mostra os algarismos em duas posições. Na situação da figura, qual é a soma desses dois algarismos?

Bomba de gasolina antiga mostrando o visor com três informações: TOTAL R$ 32,00; LITROS com os dígitos 2, um dígito apagado, vírgula e 6; PREÇO P/ LITRO R$ com os dígitos 1, vírgula, um dígito apagado e 5.

A
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B
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C
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D
6
E
7

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como o total a pagar é o número de litros comprados vezes o preço por litro, nosso problema é achar os algarismos representados por a e b na multiplicação ao lado.

\begin{array}{rr} & 2\text{ a},6 \\ \times & 1,\text{b }5 \\ \hline & 32,0\ 0\ 0 \end{array}

O produto 6 vezes b termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 e o produto 5 vezes a termina em 0 ou 5. Por outro lado, o algarismo das unidades de 5 vezes a mais 6 vezes b mais 3 (que carrega do 5 \times 6 ) é o algarismo da casa dos centésimos de 32,000, que é 0. Uma rápida verificação mostra que isso só acontece quando b é 2 ou 7 (e a é ímpar, mas essa conclusão não é necessária para o que segue).

Não é possível que b seja 7, pois 1{,}7 \times 20 = 34 , o que excede o valor de 32,00 marcado na bomba. Logo b deve ser 2 e como 32 \div 1{,}25 = 25{,}6 segue que a é 5. Logo a soma dos algarismos apagados é 2 + 5 = 7 .

Outra solução é transformar os dados do problema em números inteiros; para isso, multiplicamos 2a6 por 10 e 1b5 por 100, de modo que a conta passa a ser 2a6 \times 1b5 = 32000 . Vemos então que 1b5 deve ser um divisor de 32000 = 2^5 \times 1000 = 2^8 \times 5^3 . Usando essa fatoração, podemos determinar os divisores de 3200 que têm 1 como algarismo das centenas, que são 100, 125 e 160. O único que tem 5 como algarismo das unidades é 125; logo b = 2 e como 32000 \div 125 = 256 segue que a = 5 .

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Na bomba, o total é o produto da quantidade de litros pelo preço do litro. Pela figura, o total é R$ 32,00, os litros são 2\square{,}6 e o preço por litro é 1{,}\square 5.

Chame de a o algarismo apagado dos litros e de b o do preço. Então:

litros = 20 + a + 0{,}6 = 2a'{,}6, ou seja, \overline{2a},6, e preço = 1{,}b5.

Os litros estão entre 20{,}6 e 29{,}6. O preço está entre 1{,}05 e 1{,}95.
Como o total é 32{,}00, o preço deve ser 32 \div L. Para L entre 20 e 30, o preço fica entre cerca de 1{,}07 e 1{,}55.
Teste L = 21{,}6: 32 \div 21{,}6 \approx 1{,}48, que não termina em 5 no centésimo.
Teste L = 25{,}6: 32 \div 25{,}6 = 1{,}25. O preço 1{,}25 tem o formato 1{,}b5, com b = 2. Os litros 25{,}6 têm o formato 2a{,}6, com a = 5.

Conferindo: 25{,}6 \times 1{,}25 = 25{,}6 + 6{,}4 = 32{,}00. ✓

A soma dos algarismos é 5 + 2 = 7.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa apenas o algarismo 2 do preço, sem somar o algarismo 5 dos litros.
BNão corresponde a nenhum par de algarismos que satisfaça litros × preço = 32.
CNão corresponde a nenhum par de algarismos que satisfaça litros × preço = 32.
DNão corresponde a nenhum par de algarismos que satisfaça litros × preço = 32.

Assunto: Frações, decimais e operações básicas.

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Questão 17 no caderno Nível 1 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 1. Prova oficial ↗